第 8 章　常微分方程

\(e^{x+y}=e^{x}e^{y}\)，分离变量：\(e^{-y}\,dy=e^{x}\,dx\)，两边积分：

\[ -e^{-y}=e^{x}+C_1,\qquad\text{即}\quad e^{-y}=C-e^{x} \]

代入 \(y(0)=0\)：\(1=C-1\)，得 \(C=2\)。故特解

\[ e^{-y}=2-e^{x}\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\ln\!\left(2-e^{x}\right) \]

解的存在范围：需 \(2-e^{x}\gt 0\)，即 \(x\lt\ln 2\)。易错：特解落在哪个区间也是答案的一部分，隐式解要检查真数、被开方数的符号。

右端是 \(\dfrac{y}{x}\) 的函数（\(\dfrac{x}{y}=1/u\)），令 \(u=\dfrac{y}{x}\)，则 \(y=xu\)，\(y'=u+x\dfrac{du}{dx}\)：

\[ u+x\frac{du}{dx}=u+\frac{1}{u}\ \Longrightarrow\ u\,du=\frac{dx}{x}\ \Longrightarrow\ \frac{u^{2}}{2}=\ln|x|+C_1 \]

回代 \(u=\dfrac{y}{x}\)：\(\dfrac{y^{2}}{x^{2}}=2\ln|x|+C\)。代入 \(y(1)=1\)：\(1=0+C\)，\(C=1\)。

\[ y^{2}=x^{2}\big(2\ln x+1\big)\qquad(x\gt 0) \]

套路总结：识别信号——右端分子分母同次齐次。换元后务必把 \(y'\) 写成 \(u+xu'\)，这是齐次方程唯一的「技术动作」。

化为标准形：\(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=e^{x}\)，其中 \(p(x)=\dfrac1x\)，\(q(x)=e^x\)。

积分因子 \(\mu=e^{\int \frac{dx}{x}}=x\)，方程两边乘 \(x\)：\(\left(xy\right)'=xe^{x}\)，积分

\[ xy=\int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C\qquad\Longrightarrow\qquad y=e^{x}-\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x} \]

（\(x\neq0\)。）验算通解结构：\(e^{x}-\dfrac{e^{x}}{x}\) 是非齐次特解，\(\dfrac{C}{x}\) 是对应齐次方程 \(xy'+y=0\) 的通解，正好体现「齐次通解 + 非齐次特解」。

\(n=2\) 的伯努利方程。方程两边除以 \(y^{2}\)，并令 \(z=\dfrac{1}{y}\)（则 \(z'=-\dfrac{y'}{y^{2}}\)）：

\[ \frac{y'}{y^{2}}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=\ln x\ \Longrightarrow\ -z'+\frac{z}{x}=\ln x\ \Longrightarrow\ z'-\frac{1}{x}z=-\ln x \]

一阶线性，\(p=-\dfrac1x\)，积分因子 \(e^{-\int\frac{dx}{x}}=\dfrac1x\)：

\[ \left(\frac{z}{x}\right)'=-\frac{\ln x}{x}\ \Longrightarrow\ \frac{z}{x}=-\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C\ \Longrightarrow\ z=Cx-\frac{x(\ln x)^{2}}{2} \]

回代 \(z=\dfrac1y\)：

\[ \frac{1}{y}=Cx-\frac{x(\ln x)^{2}}{2}\qquad\text{即}\qquad y=\frac{2}{2Cx-x(\ln x)^{2}} \]

此外 \(y\equiv 0\) 也是原方程的解（除以 \(y^2\) 时丢失，需补上）。

检验条件：\(P=e^{x}\sin y-2x\)，\(Q=e^{x}\cos y+2y\)，

\[ \frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y=\frac{\partial Q}{\partial x} \]

在全平面成立，是全微分方程。求位势函数 \(u\)（\(du=P\,dx+Q\,dy\)）：对 \(x\) 积分

\[ u=\int P\,dx=e^{x}\sin y-x^{2}+h(y) \]

再用 \(u_y=Q\) 定 \(h\)：\(e^{x}\cos y+h'(y)=e^{x}\cos y+2y\)，\(h'(y)=2y\)，\(h(y)=y^{2}\)。

通解为隐式解

\[ e^{x}\sin y-x^{2}+y^{2}=C \]

套路总结：全微分方程两步走——验证 \(P_y=Q_x\)，然后「对 \(x\) 积分 + 对 \(y\) 定函数」。它与第 6 章第二类曲线积分的「与路径无关」条件完全一致，两章互相印证。

积分两次（每次用分部积分）：

\[ y'=\int x e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C_1 \]

\[ y=\int (x-1)e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}-e^{x}+C_1x+C_2=(x-2)e^{x}+C_1x+C_2 \]

验算：\(\big[(x-2)e^x\big]''=\big[(x-1)e^x\big]'=xe^x\) ✓。

方程缺 \(y\)，令 \(p=y'\)，得 \(p'-p=x\)（一阶线性）。积分因子 \(e^{-x}\)：

\[ \left(pe^{-x}\right)'=xe^{-x}\ \Longrightarrow\ pe^{-x}=\int xe^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+C_1 \]

\[ p=C_1e^{x}-x-1 \]

再积分一次：

\[ y=C_1e^{x}-\frac{x^{2}}{2}-x+C_2 \]

验算：\(y'=C_1e^x-x-1\)，\(y''=C_1e^x-1=y'+x\) ✓。

方程缺 \(x\)，令 \(p=y'\)，\(y''=p\dfrac{dp}{dy}\)：

\[ y\,p\frac{dp}{dy}=p^{2} \]

由初值 \(y'(0)=2\neq0\)，可在 \(p\neq0\) 的范围内约去 \(p\)：\(\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dy}{y}\)，积分得 \(p=C_1y\)。

回代 \(p=\dfrac{dy}{dx}\)：\(\dfrac{dy}{y}=C_1\,dx\)，故 \(y=C_2e^{C_1x}\)。

定常数：\(y(0)=1\Rightarrow C_2=1\)；\(y'(0)=C_1C_2=C_1=2\)。特解为

\[ y=e^{2x} \]

验算：\(yy''=e^{2x}\cdot 4e^{2x}=4e^{4x}\)，\((y')^{2}=(2e^{2x})^{2}=4e^{4x}\) ✓。

易错：约去 \(p\) 前应说明 \(p\neq0\)（由初始条件保证）；若不给初值，还要讨论 \(p=0\)（即 \(y=\) 常数）的解。

特征方程 \(r^{2}-5r+6=0\)，\((r-2)(r-3)=0\)，\(r_1=2,\ r_2=3\)。通解 \(y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\)。

代入初值：

\[ \begin{cases} C_1+C_2=1,\\ 2C_1+3C_2=0 \end{cases} \Longrightarrow\ C_1=3,\ C_2=-2 \]

特解 \(y=3e^{2x}-2e^{3x}\)。验算：\(y(0)=1\) ✓；\(y'=6e^{2x}-6e^{3x}\)，\(y'(0)=0\) ✓。

(1) \(r=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\dfrac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i\)，故

\[ y=e^{-2x}\left(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x\right) \]

(2) \(r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0\)，二重根 \(r=2\)，故

\[ y=(C_1+C_2x)e^{2x} \]

易错：(2) 的重根情形多出的 \(C_2x\) 不能丢；(1) 中 \(\beta=3\) 是虚部的绝对值，别把 \(-3\) 写进 \(\sin\) 的系数里。

特征方程 \(r^{4}-1=(r^{2}+1)(r-1)(r+1)=0\)，四个根 \(1,\ -1,\ i,\ -i\)，互异。

\[ y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+C_3\cos x+C_4\sin x \]

高阶常系数齐次方程的关键一步就是对特征多项式因式分解，必要时添减项（如 \(r^4+4=(r^2-2r+2)(r^2+2r+2)\)）。

特征根 \(r=1,\ 2\)。\(f=e^{x}\cdot x\)：\(\lambda=1\) 是单特征根，故设 \(y^{*}=x(ax+b)e^{x}=e^{x}(ax^{2}+bx)\)。

代入计算。记 \(v=ax^{2}+bx\)，利用 \(y=e^{x}v\) 时

\[ y''-3y'+2y=e^{x}\left(v''-v'\right) \]

（求导展开：\(y'=e^x(v+v')\)，\(y''=e^x(v+2v'+v'')\)，代入合并即得。）于是要求

\[ v''-v'=x \]

\(v'=2ax+b\)，\(v''=2a\)：\(2a-2ax-b\equiv x\)。比较系数：\(-2a=1\)，\(2a-b=0\)，解得 \(a=-\dfrac12\)，\(b=-1\)。

\[ y^{*}=-e^{x}\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right),\qquad y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}-e^{x}\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right) \]

验算：把 \(y^{*}\) 代回左端得 \(e^x\big[\,(-1)-(-x-1)\,\big]=xe^{x}\) ✓。

特征根 \(r=\pm i\)。按叠加原理拆成两个特解之和。

① \(f_1=4x\)：\(\lambda=0\) 不是特征根，\(\omega=0\)，设 \(y^{*}_1=ax+b\)，代入：\(ax+b\equiv 4x\)，得 \(a=4\)，\(b=0\)，即 \(y^{*}_1=4x\)。

② \(f_2=\sin x\)：\(\lambda\pm\omega i=\pm i\) 是特征根（共振），须设 \(x^{1}\) 因子且 \(\cos\)、\(\sin\) 同时设：

\[ y^{*}_2=x\left(A\cos x+B\sin x\right) \]

代入 \(y''+y\)（利用 \((x\cos x)''+x\cos x=-2\sin x\)，\((x\sin x)''+x\sin x=2\cos x\)）：

\[ y^{*}_2{}''+y^{*}_2=-2A\sin x+2B\cos x\equiv\sin x \]

得 \(A=-\dfrac12\)，\(B=0\)，即 \(y^{*}_2=-\dfrac{x}{2}\cos x\)。

\[ y=C_1\cos x+C_2\sin x+4x-\frac{x}{2}\cos x \]

套路总结：第二型共振的快捷验证公式：设 \(y^*=x(A\cos x+B\sin x)\) 时，\(y^{*''}+y^{*}=-2A\sin x+2B\cos x\)，直接比较系数即可，无需硬展开两阶导数。

特征方程 \((r-1)^{2}=0\)，二重根 \(r=1\)；\(f=e^{x}\cdot 1\)，\(\lambda=1\) 是二重特征根，须设

\[ y^{*}=Ax^{2}e^{x} \]

记 \(v=Ax^{2}\)，用 \(y''-2y'+y=e^{x}v''\)（展开 \(y=e^xv\) 的两阶导即得）：\(v''=2A\)，要求 \(e^{x}\cdot 2A\equiv e^{x}\)，故 \(A=\dfrac12\)。

\[ y=(C_1+C_2x)e^{x}+\frac{x^{2}}{2}e^{x} \]

验算：\(\dfrac{x^2}{2}e^x\) 代入左端 \(=e^x\cdot(x^2)''=e^x\) ✓。易错：齐次解已有 \(e^x\) 与 \(xe^x\)，特解若只设 \(Axe^x\) 仍落入齐次解中，必败；重根共振就要 \(x^2\)。

令 \(x=e^{t}\)，则 \(x^{2}y''=\ddot y-\dot y\)，\(xy'=\dot y\)，方程化为

\[ \ddot y-\dot y+\dot y-y=0\ \Longrightarrow\ \ddot y-y=0 \]

特征根 \(r=\pm1\)，\(\dot{}\) 方程通解 \(y=C_1e^{t}+C_2e^{-t}\)。回代 \(e^{t}=x\)：

\[ y=C_1x+\frac{C_2}{x} \]

验算：\(y=C_1x\)：\(y'=C_1\)，\(y''=0\)，代入得 \(0+C_1x-C_1x=0\) ✓；\(y=C_2x^{-1}\)：\(y'=-C_2x^{-2}\)，\(y''=2C_2x^{-3}\)，代入得 \(x^2\cdot 2C_2x^{-3}+x\cdot(-C_2x^{-2})-C_2x^{-1}=2C_2x^{-1}-C_2x^{-1}-C_2x^{-1}=0\) ✓。两解线性无关，线性组合即通解。

令 \(x=e^{t}\)：\((\ddot y-\dot y)-\dot y+y=e^{t}\)，即

\[ \ddot y-2\dot y+y=e^{t} \]

特征方程 \((r-1)^{2}=0\)，二重根 1；右端 \(e^{t}\) 与二重根共振，设 \(y^{*}=\dfrac{t^{2}}{2}e^{t}\)（同例 14 的做法：\(v=\dfrac{t^2}{2}\)，\(v''=1\)）。

\[ y=(C_1+C_2t)e^{t}+\frac{t^{2}}{2}e^{t}\ \xrightarrow{\;t=\ln x\;}\ y=C_1x+C_2x\ln x+\frac{x(\ln x)^{2}}{2} \]

验算特解 \(y^{*}=\dfrac{x(\ln x)^2}{2}\)：\(y'=\dfrac{(\ln x)^2}{2}+\ln x\)，\(y''=\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{1}{x}\)，

\[ x^{2}y''-xy'+y=x\ln x+x-x\cdot\frac{(\ln x)^{2}}{2}-x\ln x+\frac{x(\ln x)^{2}}{2}=x \]

恰好等于右端 ✓。

点 \(P\) 处切线方程：\(Y-y=y'(X-x)\)。令 \(X=0\) 得 \(y\) 轴截距 \(Y=y-xy'\)。由题意

\[ y-xy'=xy\ \Longrightarrow\ xy'=y(1-x)\ \Longrightarrow\ \frac{dy}{y}=\frac{1-x}{x}\,dx \]

积分：\(\ln|y|=\ln|x|-x+C_1\)，即 \(y=Cx\,e^{-x}\)。代入 \(y(1)=1\)：\(1=Ce^{-1}\)，\(C=e\)。

\[ y=x\,e^{1-x} \]

验算：\(y'=e^{1-x}(1-x)\)，\(y-xy'=xe^{1-x}-xe^{1-x}(1-x)=x^{2}e^{1-x}=xy\) ✓。

冷却定律：\(\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20)\)（\(k\gt0\)）。分离变量：

\[ \frac{d\theta}{\theta-20}=-k\,dt\ \Longrightarrow\ \theta=20+Ae^{-kt} \]

初值 \(\theta(0)=100\)：\(A=80\)。再由 \(\theta(30)=60\)：\(80e^{-30k}=40\)，\(e^{-30k}=\dfrac12\)，\(k=\dfrac{\ln2}{30}\)。故

\[ \theta(t)=20+80\cdot 2^{-\,t/30} \]

降到 30°C：\(10=80\cdot 2^{-t/30}\)，即 \(2^{-t/30}=\dfrac18\)，\(\dfrac{t}{30}=3\)，\(t=90\) 分钟。

先取初始条件：令 \(x=0\)，得 \(f(0)=0\)。

再求导（变限积分脱壳）：

\[ f'(x)=1+x\,f(x)\ \Longrightarrow\ f'-x\,f=1\quad(\text{一阶线性}) \]

积分因子 \(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\)：

\[ \left(f\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)'=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\ \Longrightarrow\ f(x)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\int_0^x e^{-\frac{t^{2}}{2}}\,dt \]

（积分常数已被 \(f(0)=0\) 消去。）故

\[ f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}\int_0^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\,dt \]

右端虽非初等函数，但作为定积分表示的解已完满；验算：\(f'=xf+e^{x^2/2}\cdot e^{-x^2/2}=xf+1\) ✓，\(f(0)=0\) ✓。

套路总结：积分方程三步——代零点取初值、求导化微分方程、解方程。若核为 \(\int_0^x(x-t)f(t)dt\)，需求导两次：一阶导得 \(\int_0^x f(t)dt\)（见练习 11）。