线性代数 · 2027 考研数学一

第 1 章　行列式

建议用时：概念 3 小时 + 例题练习 4 小时

本章地位：行列式近年真题中多以 1 道小题（5 分）直接出现（数值型/抽象型行列式、|A+kE| 型），但它的真正作用是工具：矩阵可逆的判定、伴随矩阵、秩、特征多项式 \(|\lambda E-A|\)、二次型正定都要靠它。线代第一大题「含参数方程组讨论」的第一步往往就是算一个含参行列式。本章要求：性质滚瓜烂熟、六大计算方法见到题型就能对号入座。

1.1　行列式的概念

1.1.1 排列与逆序数

定义由 \(1,2,\cdots,n\) 组成的一个有序数组称为一个 \(n\) 阶排列。在一个排列中，若一个大的数排在小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总个数称为该排列的逆序数，记作 \(\tau(p_1p_2\cdots p_n)\)。逆序数为奇数的排列称奇排列，偶数称偶排列。
例 1（★☆☆☆）

求排列 \(3\,1\,4\,2\) 与 \(n\,(n-1)\,\cdots\,2\,1\) 的逆序数。

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\(\tau(3142)\)：3 前面没有数，3 后比 3 小的有 1、2 共 2 个；1 后面没有比 1 小的；4 后比 4 小的有 2，共 1 个；合计 \(\tau=2+1=3\)，奇排列。

排列 \(n\,(n-1)\cdots 21\) 中，数 \(k\) 后面比它小的恰有 \(k-1\) 个，故 \[ \tau=n(n-1)+\cdots+2+1=\frac{n(n-1)}{2} \] 当 \(n=4k\) 或 \(4k+1\) 时为偶排列，\(n=4k+2\) 或 \(4k+3\) 时为奇排列。

1.1.2 n 阶行列式的定义

定义\(n\) 阶行列式 \[ |A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}\,a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} \] 即：所有取自不同行不同列的 \(n\) 个元素乘积的代数和，共 \(n!\) 项；每项行标按自然顺序排好后，符号由列标排列的奇偶性决定。
二阶与三阶：对角线法则 \[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc,\qquad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \] 易错　对角线法则只适用于二、三阶，四阶及以上必须用定义/性质/展开定理。
两个直接可写的特殊行列式

上（下）三角形、对角行列式 = 对角元素之积：\(\begin{vmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{vmatrix}=a_1a_2a_3\)（\(*\) 处任意）；

副对角行列式：\(\begin{vmatrix} 0 & 0 & a_1 \\ 0 & a_2 & 0 \\ a_3 & 0 & 0 \end{vmatrix}=-a_1a_2a_3\)，一般 \(n\) 阶副对角 \(=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_1a_2\cdots a_n\)。

例 2（★☆☆☆）

写出四阶行列式中含有因子 \(a_{11}a_{23}a_{32}\) 的项并确定其符号；再计算 \(\begin{vmatrix} 0&0&0&a \\ 0&0&b&0 \\ 0&c&0&0 \\ d&0&0&0 \end{vmatrix}\)。

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含 \(a_{11}a_{23}a_{32}\) 的项还需从第 4 行第 4 列取 \(a_{44}\)，即项 \(a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\)。行标为自然排列，列标排列为 \(1\,3\,2\,4\)，\(\tau(1324)=1\) 为奇排列，故该项为 \(-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\)。

第二个行列式只有一项非零：\(a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}=abcd\)，列标排列 \(4\,3\,2\,1\) 的逆序数 \(\tau=\frac{4\times 3}{2}=6\) 为偶，故原式 \(=abcd\)。

练习 1（★☆☆☆）

计算 \(\begin{vmatrix} 0 & x & 0 \\ y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z \end{vmatrix}\)。

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非零项为 \(a_{12}a_{21}a_{33}=xyz\)，列标排列 \(2\,1\,3\)，\(\tau=1\) 为奇排列，故原式 \(=-xyz\)。

练习 2（★★☆☆）

设 \(f(x)=\begin{vmatrix} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 2 & 0 & x & 0 \\ 3 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}\)，求 \(f(x)\) 中 \(x^4\) 与 \(x^3\) 的系数。

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含 \(x^4\) 的项只能取对角线 \(x\cdot x\cdot x\cdot x\)（列标 \(1234\)，偶排列），系数 \(1\)。

含 \(x^3\) 的项：取 \(a_{11}\)（即 \(x\)）与第 2、3、4 行的 \(x\)？那已是 \(x^4\)。要在第一行取常数 \(1,2,3\) 之一（设为第 \(j\) 列），则第 \(j\) 行只能取行首常数，其余取 \(x\)：项为 \(k\cdot k\cdot x^3\) 型（\(k=1,2,3\)），列标排列 \(j\cdots\) 的奇偶决定符号。具体地，第一行取 \(a_{1j}=j\)（\(j=2,3,4\)），第 \(j\) 行取 \(a_{j1}=j\)，其余对角取 \(x\)，列标排列为 \(j,1,\cdots\)（把 1 与 \(j\) 对换），逆序数为奇，故每项符号为负：\(f(x)=x^4-(1^2+2^2+3^2)x^3+\cdots=x^4-14x^3+\cdots\)。\(\ x^3\) 系数为 \(-14\)。

1.2　行列式的性质

1.2.1 六大基本性质

性质（对行与列同样成立）

① 转置不变：\(|A^{T}|=|A|\)（行具有的性质列也有）；

② 两行（列）互换，行列式变号；

③ 某一行（列）的公因子可以提到行列式外（提一行提一次）；

④ 某行（列）加上另一行（列）的 \(k\) 倍，行列式不变（最常用，化三角）；

⑤ 有两行（列）相同或成比例，行列式为 \(0\)；

⑥ 某一行是两组数之和，则可拆成两个行列式之和（拆一行，其余行不变）。

1.2.2 方阵行列式的运算公式

运算公式（\(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵） \[ |AB|=|A|\,|B| \qquad |A^{m}|=|A|^{m} \qquad |A^{T}|=|A| \qquad |kA|=k^{n}|A| \] \[ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \qquad |A^{*}|=|A|^{\,n-1} \qquad AA^{*}=A^{*}A=|A|E \]
高频易错

① \(|A+B|\ne|A|+|B|\)（没有和的公式，抽象题只能拆行/定义/特殊化）；

② \(|kA|=k^{n}|A|\)，不是 \(k|A|\)（每一行都提出 \(k\)，共 \(n\) 次）；

③ \(|AB|=|A||B|\) 当且仅当 \(A,B\) 同阶方阵时才有意义，且 \(AB\) 与 \(BA\) 的行列式虽相等，\(AB\ne BA\) 本身一般不成立。

例 3（★★☆☆ 高频考点）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=2\)，求 \(|2A|\)、\(|-A|\)、\(|A^{*}|\)、\(|(A^{*})^{-1}|\)。

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\(|2A|=2^{3}|A|=8\times 2=16\)；

\(|-A|=(-1)^{3}|A|=-2\)（注意 \(n=3\) 为奇数）；

\(|A^{*}|=|A|^{n-1}=|A|^{2}=4\)；

\(|(A^{*})^{-1}|=\dfrac{1}{|A^{*}|}=\dfrac14\)。

例 4（★★★☆ 真题风格）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=2\)，求 \(\left|\left(\tfrac12 A\right)^{-1}-2A^{*}\right|\)。

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关键：把两项统一成 \(A^{-1}\)。由 \(A^{*}=|A|A^{-1}=2A^{-1}\)，又 \(\left(\tfrac12A\right)^{-1}=2A^{-1}=A^{*}\)，于是：

\[ \left(\tfrac12 A\right)^{-1}-2A^{*}=2A^{-1}-4A^{-1}=-2A^{-1} \]

故原式 \(=|-2A^{-1}|=(-2)^{3}|A^{-1}|=-8\times\tfrac12=-4\)。

练习 3（★★☆☆）

设 \(A\) 为 4 阶矩阵，\(|A|=-2\)，求 \(|-2A|\) 与 \(|A^{*}|\)。

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\(|-2A|=(-2)^{4}|A|=16\times(-2)=-32\)；\(|A^{*}|=|A|^{3}=-8\)。

练习 4（★★☆☆）

设 \(A,B\) 均为 3 阶方阵，\(|A|=1\)，\(|B|=-2\)，求 \(|2A^{T}B|\) 与 \(|B^{*}|\)。

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\(|2A^{T}B|=2^{3}|A^{T}|\,|B|=8\times 1\times(-2)=-16\)；\(|B^{*}|=|B|^{2}=4\)。

1.3　展开定理

1.3.1 余子式、代数余子式与展开定理

定义在 \(n\) 阶行列式中，划去元素 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列，剩下的元素按原位置构成的 \(n-1\) 阶行列式称为 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\)；称 \[ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \] 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式。易错　\(A_{ij}\) 只与位置 \((i,j)\) 有关，与第 \(i\) 行（及第 \(j\) 列）的元素取值无关。
展开定理行列式等于某一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和： \[ |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\qquad(\text{按第 } i \text{ 行展开}) \] 异乘变零（某行元素乘另一行的代数余子式）： \[ a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0\qquad(i\ne k) \]
例 5（★★☆☆ 方法）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3 \end{vmatrix}\)。

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策略：先用列变换把某行造出尽量多的 0，再按该行展开。第 3 行已有 \(a_{32}=0\)，把第 4 列的适当倍数加到第 1、3 列：

\(c_1\leftarrow c_1+2c_4\)：\(3+4=7,\ -5-8=-13,\ 2-2=0,\ 1-6=-5\)；

\(c_3\leftarrow c_3+c_4\)：\(-1+2=1,\ 3-4=-1,\ 1-1=0,\ 3-3=0\)。

于是第 3 行变为 \((0,\,0,\,0,\,-1)\)，按第 3 行展开（只有一个非零元）：

\[ D=(-1)\times(-1)^{3+4}\begin{vmatrix} 7&1&1\\ -13&1&-1\\ -5&-5&0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7&1&1\\ -13&1&-1\\ -5&-5&0 \end{vmatrix} \]

三阶用对角线法则：\(7(0-5)-1(0-5)+1(65+5)=-35+5+70=40\)。

故 \(D=40\)。（也可直接按第 3 行 \((2,0,1,-1)\) 展开，\(D=2M_{31}+M_{33}+M_{34}=2\times16-40+48=40\)，结果一致。）

例 6（★★★☆ 高频考点）

设 \(D=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 2&0&1&3\\ 0&1&2&3\\ 0&0&1&2 \end{vmatrix}\)，求 \(A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}\)（第 2 行全体代数余子式之和）。

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逐个算 4 个三阶余子式太慢。替换行法：因为 \(A_{2j}\) 与第 2 行元素无关，把第 2 行换成 \((1,1,1,1)\) 后按第 2 行展开，恰好得到 \(\sum_j A_{2j}\)：

\[ A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 1&1&1&1\\ 0&1&2&3\\ 0&0&1&2 \end{vmatrix} \]

新行列式中 \(r_1\leftarrow r_1-r_2=(0,1,2,3)\) 与第 3 行完全相同，故行列式为 \(0\)。

所以 \(A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}=0\)。（同理，若求 \(2A_{21}-A_{22}+3A_{23}+A_{24}\)，就把第 2 行换成 \((2,-1,3,1)\) 再算新行列式。）

1.3.2 分块行列式（拉普拉斯）

分块公式\(A\) 为 \(m\) 阶、\(B\) 为 \(n\) 阶方阵： \[ \begin{vmatrix} A&O\\ C&B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A&D\\ O&B \end{vmatrix}=|A|\,|B| \qquad \begin{vmatrix} O&A\\ B&C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|\,|B| \] 易错　副对角分块要乘 \((-1)^{mn}\)；一般分块 \(\begin{vmatrix} A&B\\ C&D \end{vmatrix}\) 没有 \(|A||D|-|B||C|\) 这样的公式（那只是二阶行列式 \(ad-bc\) 的巧合）。
例 7（★★☆☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 1&2&0&0\\ 3&4&0&0\\ 1&0&2&1\\ 0&1&1&2 \end{vmatrix}\)。

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分块 \(\begin{vmatrix} A&O\\ C&B \end{vmatrix}\)，其中 \(|A|=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2\)，\(|B|=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\)。

故 \(D=|A||B|=-6\)。

练习 5（★☆☆☆）

计算 \(\begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 1&2&1\\ 3&1&2 \end{vmatrix}\)。

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按第 1 行展开：\(2\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}1&1\\3&2\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}=2\times3+1\times(-1)+3\times(-5)=6-1-15=-10\)。

练习 6（★★☆☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 0&0&1&2\\ 0&0&3&4\\ 2&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{vmatrix}\)。

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副对角分块 \(\begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix}\)，\(A,B\) 都是 2 阶，\(m=n=2\)：

\(D=(-1)^{2\times2}|A||B|=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}2&0\\0&1\end{vmatrix}=(-2)\times2=-4\)。

（验算：按第 1 列展开，只有 \(a_{31}=2\) 非零，\(D=2\times1\times\begin{vmatrix}0&1&2\\0&3&4\\1&0&0\end{vmatrix}=2\times(-2)=-4\)。）

1.4　行列式的计算方法

总纲　看到行列式先问三个问题：① 每行元素之和是否相同？（各列加到第 1 列）② 是否有大量 0 或规律性结构？（三角 / 爪形 / 三对角 / 分块）③ 是否含 \(x\) 或参数？（常化为多项式问题或递推）。

1.4.1 数值型：化为上三角形

流程利用「某行加另一行倍数不变」逐列消元造 0，化为上三角后 主对角线之积即为答案；换行一次变一次号，最后记得补上 \((-1)^s\)。
例 8（★★☆☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10 \end{vmatrix}\)。

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\(r_2\leftarrow r_2-4r_1=(0,-3,-6)\)，\(r_3\leftarrow r_3-7r_1=(0,-6,-11)\)；再 \(r_3\leftarrow r_3-2r_2=(0,0,1)\)。

\[ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&-3&-6\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=1\times(-3)\times1=-3 \]

（对角线验算：\(1(50-48)-2(40-42)+3(32-35)=2+4-9=-3\)。）

例 9（★★☆☆ 高频考点 行和相等型）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1\\ 3&1&2 \end{vmatrix}\)。

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每行之和都是 6：各列加到第 1 列提出 6：

\[ D\overset{c_1+c_2+c_3}{=}\begin{vmatrix} 6&2&3\\ 6&3&1\\ 6&1&2 \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&3&1\\ 1&1&2 \end{vmatrix} \]

\(r_2-r_1=(0,1,-2)\)，\(r_3-r_1=(0,-1,-1)\)，再 \(r_3+r_2=(0,0,-3)\)：

\[ D=6\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&1&-2\\ 0&0&-3 \end{vmatrix}=6\times(-3)=-18 \]

（对角线验算：\(1\times5-2\times1+3\times(-7)=-18\)。）

1.4.2 爪形（箭形）行列式

方法形如 \(\begin{vmatrix} a_1&1&1&1\\ 1&a_2&0&0\\ 1&0&a_3&0\\ 1&0&0&a_4 \end{vmatrix}\)（只有第 1 行、第 1 列及主对角线非零）：用第 2、3、4 行把第 1 行的 1 消成 0，即 \(r_1\leftarrow r_1-\frac1{a_2}r_2-\frac1{a_3}r_3-\frac1{a_4}r_4\)，化为上三角： \[ D=\left(a_1-\frac1{a_2}-\frac1{a_3}-\frac1{a_4}\right)a_2a_3a_4 \]
例 10（★★★☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&0&0\\ 1&0&3&0\\ 1&0&0&4 \end{vmatrix}\)。

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爪形：\(r_1\leftarrow r_1-\frac12r_2-\frac13r_3-\frac14r_4\)，第 1 行变为 \(\left(1-\frac12-\frac13-\frac14,\ 0,\ 0,\ 0\right)=\left(-\frac1{12},\,0,\,0,\,0\right)\)，此时已是上三角：

\[ D=-\frac1{12}\times 2\times3\times4=-2 \]

（验算：按第 4 列展开，\(D=-M_{14}+4M_{44}\)，其中 \(M_{44}=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{vmatrix}=1\)，\(M_{14}=\begin{vmatrix}1&2&0\\1&0&3\\1&0&0\end{vmatrix}=6\)，故 \(D=-6+4=-2\)。）

练习 7（★☆☆☆）

用化上三角形的方法计算 \(\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 2&3&4\\ 3&4&6 \end{vmatrix}\)。

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\(r_2-2r_1=(0,-1,-2)\)，\(r_3-3r_1=(0,-2,-3)\)，\(r_3-2r_2=(0,0,1)\)：

\[ D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=-1 \]

练习 8（★★☆☆）

计算 \(n\) 阶行列式 \(D_n=\begin{vmatrix} b&a&a&\cdots&a\\ a&b&a&\cdots&a\\ a&a&b&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a&a&a&\cdots&b \end{vmatrix}\)（主对角为 \(b\)，其余为 \(a\)）。

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每行之和均为 \(b+(n-1)a\)，各列加到第 1 列并提出：

\[ D_n=\bigl[b+(n-1)a\bigr]\begin{vmatrix} 1&a&\cdots&a\\ 1&b&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&a&\cdots&b \end{vmatrix} \]

各行减第 1 行（\(r_i\leftarrow r_i-r_1\)，\(i\ge2\)）得下三角：

\[ D_n=\bigl[b+(n-1)a\bigr]\begin{vmatrix} 1&a&\cdots&a\\ 0&b-a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&b-a \end{vmatrix}=\bigl[b+(n-1)a\bigr](b-a)^{n-1} \]

（数值检验 \(b=5,a=2,n=3\)：\(9\times9=81\)，与直接计算一致。）

1.4.3 三对角递推型

方法主对角为 \(a\)、两条副线为 \(b,c\) 的 \(n\) 阶行列式：按第 1 行展开得 \[ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} \] 算出 \(D_1,D_2\) 后递推（或解特征方程求通项）。
例 11（★★★☆ 真题风格）

计算 \(n\) 阶行列式 \(D_n=\begin{vmatrix} 2&1&&\\ 1&2&1&\\ &1&2&\ddots\\ &&\ddots&\ddots \end{vmatrix}\)（三对角，主对角全 2，副线全 1）。

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按第 1 行展开：\(D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}\)。初始值 \(D_1=2\)，\(D_2=\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\)。

递推：\(D_3=2\times3-2=4\)，\(D_4=2\times4-3=5\)，……猜想 \(D_n=n+1\)。

归纳验证：若 \(D_{n-1}=n\)，\(D_{n-2}=n-1\)，则 \(D_n=2n-(n-1)=n+1\)，成立。故 \(D_n=n+1\)。

1.4.4 范德蒙行列式

公式（记住结论） \[ \begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1\le j\lt i\le n}(x_i-x_j) \] 即「后面的减前面的」所有因子之积。行列式为 0 \(\iff\) \(x_1,\cdots,x_n\) 中有相等的。
例 12（★★☆☆）

计算 \(\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 1&4&9 \end{vmatrix}\)。

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这是 \(x_1=1,x_2=2,x_3=3\) 的范德蒙：

\[ D=(2-1)(3-1)(3-2)=1\times2\times1=2 \]

（对角线验算：\(1(18-12)-1(9-3)+1(4-2)=2\)。）

1.4.5 加边法（升阶）

方法对「主对角 \(a_i+x\)、其余 \(x\)」型：加一行一列（值为不变）： \[ D_n=\begin{vmatrix} a_1+x&x&\cdots&x\\ x&a_2+x&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x&x&\cdots&a_n+x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&x&x&\cdots&x\\ 0&a_1+x&x&\cdots&x\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x&x&\cdots&a_n+x \end{vmatrix} \] 再把第 1 行的 \(-1\) 倍加到下面各行，出现大量 \(-1\) 与对角元，最后把第 2 列起各列的适当倍数加回第 1 列化为三角，得 \[ D_n=a_1a_2\cdots a_n\left(1+x\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\right) \]
例 13（★★★☆ 冲刺）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 2&1&1\\ 1&3&1\\ 1&1&4 \end{vmatrix}\)。

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视 \(a_i+x\)：\(x=1\)，\(a_1=1,a_2=2,a_3=3\)。套公式：

\[ D=1\times2\times3\times\left(1+1\times\Bigl(\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13\Bigr)\right)=6\times\frac{17}{6}=17 \]

加边过程（体会方法）：

\[ D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&2&1&1\\ 0&1&3&1\\ 0&1&1&4 \end{vmatrix}\xrightarrow{r_i-r_1}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ -1&1&0&0\\ -1&0&2&0\\ -1&0&0&3 \end{vmatrix} \]

\(c_1\leftarrow c_1+c_2+\frac12c_3+\frac13c_4\)：第 1 行 \(=1+1+\frac12+\frac13=\frac{17}{6}\)，第 2~4 行第 1 列全变 0，故 \(D=\frac{17}{6}\times1\times2\times3=17\)。

（直接对角线验算：\(2(12-1)-1(4-1)+1(1-3)=22-3-2=17\)。）

练习 9（★★☆☆）

计算四阶三对角行列式 \(D_4=\begin{vmatrix} 3&1&0&0\\ 1&3&1&0\\ 0&1&3&1\\ 0&0&1&3 \end{vmatrix}\)。

查看答案

\(D_n=3D_{n-1}-D_{n-2}\)，\(D_1=3\)，\(D_2=8\)。

\(D_3=3\times8-3=21\)，\(D_4=3\times21-8=55\)。

练习 10（★★☆☆）

计算 \(\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&4&9&16\\ 1&8&27&64 \end{vmatrix}\)。

查看答案

范德蒙，\(x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4\)：

\[ D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1=12 \]

1.5　克拉默法则

克拉默法则含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知量的线性方程组 \(Ax=b\)，若系数行列式 \(D=|A|\ne0\)，则方程组有唯一解 \[ x_j=\frac{D_j}{D}\quad(j=1,2,\cdots,n) \] 其中 \(D_j\) 是把 \(D\) 的第 \(j\) 列换成常数列 \(b\)、其余不变的行列式。
两条推论（更重要）对于 \(n\) 个未知量 \(n\) 个方程的齐次方程组 \(Ax=0\)：

① 只有零解 \(\iff |A|\ne0\)；

② 有非零解 \(\iff |A|=0\)（这也是求参数的常用等式）。

使用边界克拉默法则要求「方程个数 = 未知量个数」且 \(|A|\ne0\)；实际求解方程组用第 4 章的初等变换法，克拉默法则主要用于理论判定与出唯一解条件。\(D=0\) 时法则失效（无解/无穷多解需进一步讨论，见第 4 章）。
例 14（★☆☆☆）

用克拉默法则解方程组 \(\begin{cases} x+2y=5\\ 2x+3y=8 \end{cases}\)。

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\(D=\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}=-1\ne0\)，有唯一解。

\(D_1=\begin{vmatrix}5&2\\8&3\end{vmatrix}=15-16=-1\)，\(D_2=\begin{vmatrix}1&5\\2&8\end{vmatrix}=8-10=-2\)。

故 \(x=\dfrac{D_1}{D}=1\)，\(y=\dfrac{D_2}{D}=2\)。

例 15（★★★☆ 真题风格）

\(\lambda\) 取何值时，方程组 \(\begin{cases} \lambda x+y+z=1\\ x+\lambda y+z=\lambda\\ x+y+\lambda z=\lambda^2 \end{cases}\) 有唯一解？

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系数行列式是「主对角 \(\lambda\)、其余 1」型（练习 8 的公式，\(b=\lambda,a=1\)）：

\[ D=\begin{vmatrix} \lambda&1&1\\ 1&\lambda&1\\ 1&1&\lambda \end{vmatrix}=(\lambda+2)(\lambda-1)^2 \]

有唯一解 \(\iff D\ne0\iff \lambda\ne1\) 且 \(\lambda\ne-2\)。

（\(\lambda=1\) 与 \(\lambda=-2\) 时分别对应无穷多解与无解，完整讨论在第 4 章展开。）

练习 11（★★☆☆）

用克拉默法则解 \(\begin{cases} x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 2x+y+z=7 \end{cases}\)。

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\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\2&1&1\end{vmatrix}=1\)，

\(D_1=\begin{vmatrix}6&1&1\\14&2&3\\7&1&1\end{vmatrix}=1\)，\(D_2=\begin{vmatrix}1&6&1\\1&14&3\\2&7&1\end{vmatrix}=2\)，\(D_3=\begin{vmatrix}1&1&6\\1&2&14\\2&1&7\end{vmatrix}=3\)。

故 \(x=1,\ y=2,\ z=3\)。

练习 12（★★☆☆）

\(\lambda\) 为何值时，齐次方程组 \(\begin{cases} \lambda x+y+z=0\\ x+\lambda y+z=0\\ x+y+\lambda z=0 \end{cases}\) 有非零解？

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有非零解 \(\iff D=(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0\iff \lambda=-2\) 或 \(\lambda=1\)。

1.6　章末自测（10 题，建议限时 60 分钟）

自测 1（选择 · ★☆☆☆）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=2\)，则 \(|-2A|=\)

A. \(-4\)　　B. \(-8\)　　C. \(-16\)　　D. \(16\)

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\(|-2A|=(-2)^3|A|=-8\times2=-16\)，选 C。（常见错误：只乘一次 \(-2\) 得 B。）

自测 2（选择 · ★★☆☆）

设 \(A,B\) 均为 \(n\) 阶方阵，下列等式恒成立的是：

A. \(|A+B|=|A|+|B|\)　　B. \(|AB|=|A||B|\)　　C. \(|-A|=-|A|\)　　D. \(|A-B|=|A|-|B|\)

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B 正确（同阶方阵行列式乘法公式）。A、D 无一般公式；C 仅当 \(n\) 为奇数成立，\(|-A|=(-1)^n|A|\)。选 B。

自测 3（选择 · ★★★☆）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=1\)，则 \(\bigl|A^{*}-A^{-1}\bigr|=\)

A. \(0\)　　B. \(1\)　　C. \(|A|^{2}\)　　D. \(|A|^{3}\)

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\(A^{*}=|A|A^{-1}=A^{-1}\)，故 \(A^{*}-A^{-1}=O\)，行列式为 \(0\)，选 A。

自测 4（填空 · ★★☆☆）

计算 \(\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&4&5\\ 1&4&16&25\\ 1&8&64&125 \end{vmatrix}=\)

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范德蒙，\(x_1=1,x_2=2,x_3=4,x_4=5\)：

\((2-1)(4-1)(5-1)(4-2)(5-2)(5-4)=1\cdot3\cdot4\cdot2\cdot3\cdot1=72\)。

自测 5（填空 · ★★☆☆）

五阶三对角行列式（主对角全 2，副线全 1）\(D_5=\)

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由例 11，\(D_n=n+1\)，故 \(D_5=6\)。

自测 6（填空 · ★★★☆）

设 \(A\) 为 4 阶矩阵，\(|A|=2\)，则 \(\bigl|-2A^{T}A\bigr|=\)

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\(\bigl|-2A^{T}A\bigr|=(-2)^4|A^{T}|\,|A|=16\times2\times2=64\)。

自测 7（解答 · ★★★☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 4&1&1&1\\ 1&3&0&0\\ 1&0&2&0\\ 1&0&0&1 \end{vmatrix}\)。

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爪形：\(r_1\leftarrow r_1-\dfrac13r_2-\dfrac12r_3-r_4\)，第 1 行变为 \(\left(4-\dfrac13-\dfrac12-1,\,0,\,0,\,0\right)=\left(\dfrac{13}{6},\,0,\,0,\,0\right)\)，化为上三角：

\[ D=\frac{13}{6}\times3\times2\times1=13 \]

（验算：按第 4 行展开，\(D=-M_{41}+M_{44}\)，\(M_{44}=\begin{vmatrix}4&1&1\\1&3&0\\1&0&2\end{vmatrix}=19\)，\(M_{41}=\begin{vmatrix}1&1&1\\3&0&0\\0&2&0\end{vmatrix}=6\)，\(D=-6+19=13\)。）

自测 8（解答 · ★★☆☆）

计算 \(D=\begin{vmatrix} 2&1&1&1\\ 1&2&1&1\\ 1&1&2&1\\ 1&1&1&2 \end{vmatrix}\)。

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主对角 \(b=2\)、其余 \(a=1\)：\(D=[\,2+3\times1\,](2-1)^3=5\)。

过程：\(c_1\leftarrow c_1+c_2+c_3+c_4\) 提出 5，再各行减第 1 行化为下三角，副对角元全 \(2-1=1\)。

自测 9（解答 · ★★★★ 高频考点）

设 \(D=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 0&1&2&3\\ 2&0&1&4\\ 0&0&1&2 \end{vmatrix}\)，\(A_{3j}\) 为元素 \(a_{3j}\) 的代数余子式，求 \(2A_{31}-A_{32}+4A_{34}\)。

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替换行法：所求组合的系数 \((2,-1,0,4)\) 恰好作为新的第 3 行（代数余子式与第 3 行元素无关）：

\[ 2A_{31}-A_{32}+4A_{34}=\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 0&1&2&3\\ 2&-1&0&4\\ 0&0&1&2 \end{vmatrix} \]

按第 1 列展开（只有 \(a_{11}=1,\ a_{31}=2\) 非零）：

\[ =M_{11}+2M_{31}=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ -1&0&4\\ 0&1&2 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2&3&4\\ 1&2&3\\ 0&1&2 \end{vmatrix}=(-3)+2\times0=-3 \]

（\(M_{11}=1(0-4)-2(-2-0)+3(-1-0)=-4+4-3=-3\)；\(M_{31}=2(4-3)-3(2-0)+4(1-0)=2-6+4=0\)。）

自测 10（解答 · ★★★★ 冲刺）

设 \(A,B\) 分别为 \(n\) 阶方阵，\(|A|=a\)，\(|B|=b\)，求 \(2n\) 阶行列式 \(\begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix}\)。

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副对角分块公式：

\[ \begin{vmatrix} O&A\\ B&O \end{vmatrix}=(-1)^{n\cdot n}|A|\,|B|=(-1)^{n^2}ab \]

由 \(n^2\) 与 \(n\) 同奇偶，即 \((-1)^{n}ab\)：\(n\) 为偶数时 \(=ab\)，\(n\) 为奇数时 \(=-ab\)。

1.7　本章考点总结

考点常见题型重要度
性质 + 抽象行列式（\(|kA|\)、\(|A^{*}|\)、\(|A+B|\) 拆行）小题（选择/填空），几乎每年★★★★★
数值型计算（三角化 / 按零多的行展开）小题或大题第一步（含参数方程组）★★★★
结构型（行和、爪形、三对角、范德蒙、加边）小题★★★★
代数余子式（替换行法、异乘变零）小题★★★
克拉默法则、参数讨论判定唯一解 / 齐次有非零解求参数★★★★
分块行列式嵌在第 2、5、6 章大题中★★★
与后续章节的接口

① \(|A|\ne0 \iff\) \(A\) 可逆 \(\iff r(A)=n \iff\) 列向量组线性无关 \(\iff\) \(Ax=0\) 只有零解（全书最重要的等价链，第 2~4 章逐步补全）；

② \(|\lambda E-A|\) 是第 5 章特征多项式的载体，本章的展开、行和型技巧直接复用；

③ 二次型正定 \(\iff\) 顺序主子式全大于 0（第 6 章）。