线性代数 · 2027 考研数学一

第 3 章　向量组

建议用时：概念 4 小时 + 例题练习 5 小时

本章地位：线性相关性是线代中「概念题」的集中营，也是很多同学最先崩盘的地方——定义一句话，题目千变万化。真题常以「抽象向量组相关性判定（选择）」「证明线性无关（解答题片段）」出现，并直接为第 4 章解的结构（基础解系）铺路。核心思想只有一条：把向量组按列拼成矩阵，相关性 ⟺ 秩。

3.1　线性组合与线性表示

定义给定 \(n\) 维向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 与向量 \(\beta\)，若存在数 \(k_1,\cdots,k_s\) 使 \[ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s \] 则称 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性表示（\(\beta\) 是其线性组合）。
判定（桥梁定理：向量问题 ⟹ 方程组问题） \[ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示}\iff x_1\alpha_1+\cdots+x_s\alpha_s=\beta\text{ 有解}\iff r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\ \beta) \] 且：表示式唯一 \(\iff\) \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 线性无关（在有解前提下）。
例 1（★★☆☆）

设 \(\alpha_1=(1,2)\)，\(\alpha_2=(3,4)\)，\(\beta=(5,6)\)，判断 \(\beta\) 能否由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表示；若能，求表示式。

查看解答

设 \(x\alpha_1+y\alpha_2=\beta\)：

\[ \begin{cases} x+3y=5\\ 2x+4y=6 \end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} x+3y=5\\ x+2y=3 \end{cases}\Longrightarrow y=2,\ x=-1 \]

故 \(\beta=-\alpha_1+2\alpha_2\)（验算：\(-(1,2)+2(3,4)=(5,6)\)）。两向量不共线（线性无关），表示式唯一。

例 2（★★★☆ 易错）

设 \(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,2,1)\)，\(\beta=(2,3,1)\)。证明 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示，并说明表示式是否唯一。

查看解答

设 \(x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3=\beta\)：

\[ \begin{cases} x+z=2\\ x+y+2z=3\\ y+z=1 \end{cases} \]

第三式代入第二式（\(y=1-z\)）：\(x+1-z+2z=x+1+z=3\)，结合第一式 \(x=2-z\) 得 \(3=3\) 恒成立——方程组有无穷多解。

例如 \(z=0\) 时 \(\beta=2\alpha_1+\alpha_2\)；\(z=1\) 时 \(\beta=\alpha_1+\alpha_3\)。（验算：\(2(1,1,0)+(0,1,1)=(2,3,1)\)；\((1,1,0)+(1,2,1)=(2,3,1)\)。）

表示式不唯一，根源在 \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)，向量组本身线性相关。

练习 1（★☆☆☆）

设 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(0,1,2)\)，\(\beta=(1,2,3)\)，把 \(\beta\) 表示成 \(\alpha_1,\alpha_2\) 的线性组合。

查看答案

设 \(x\alpha_1+y\alpha_2=\beta\)：\(x=1\)（第一分量），\(x+y=2\Rightarrow y=1\)，\(x+2y=3\) 成立。

故 \(\beta=\alpha_1+\alpha_2\)，且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 无关，表示唯一。

练习 2（★★☆☆）

设 \(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\beta=(0,0,1)\)，判断 \(\beta\) 能否由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表示。

查看答案

\(x\alpha_1+y\alpha_2=(x,y,0)\)，第三个分量恒为 0，不可能等于 1，不能表示。

用秩看：\(r(\alpha_1,\alpha_2)=2\)，而 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\beta)=3\)，两者不等。

3.2　线性相关性

定义对向量组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全为零的数 \(k_1,\cdots,k_s\) 使 \[ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 \] 则称向量组线性相关；否则（仅当全为零时上式成立）称线性无关。 几何直观：两个向量相关 \(\iff\) 共线；三个向量相关 \(\iff\) 共面。

3.2.1 三大判定方法

怎么选方法

① 行列式法（\(n\) 个 \(n\) 维数值向量）：拼成矩阵算行列式，\(\det\ne0\iff\) 无关；

② 秩法（个数与维数不等 / 数值型）：\(r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=s\iff\) 无关，\(\lt s\iff\) 相关；

③ 定义法（抽象向量组）：设线性组合为零，把系数「挤」到已知无关的组上，解系数方程组。

例 3（★☆☆☆）

判断 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,6)\) 的线性相关性。

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3 个 3 维向量，用行列式法（按列拼）：

\[ \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 1&3&6 \end{vmatrix}=1(12-9)-1(6-3)+1(3-2)=3-3+1=1\ne0 \]

故线性无关。

例 4（★★★☆ 高频考点 定义法）

设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关。（1）证明 \(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_1-\alpha_2\) 线性无关；（2）证明 \(\gamma_1=\alpha_1+2\alpha_2\)，\(\gamma_2=2\alpha_1+4\alpha_2\) 线性相关。

查看解答

（1）设 \(k_1\beta_1+k_2\beta_2=0\)：

\[ k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_1-\alpha_2)=(k_1+k_2)\alpha_1+(k_1-k_2)\alpha_2=0 \]

由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 无关得 \(\begin{cases} k_1+k_2=0\\ k_1-k_2=0 \end{cases}\)，解得 \(k_1=k_2=0\)，故无关。

（2）\(\gamma_2=2\gamma_1\)（\(2(\alpha_1+2\alpha_2)=2\alpha_1+4\alpha_2\)），成比例即相关；或设 \(k_1\gamma_1+k_2\gamma_2=0\) 得 \((k_1+2k_2)\alpha_1+(2k_1+4k_2)\alpha_2=0\)，取 \(k_1=2,\ k_2=-1\)（非零解）即相关。

例 5（★★★☆ 真题风格 含参）

设 \(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,2,1)\)，\(\alpha_3=(2,\lambda,1)\)，讨论 \(\lambda\) 取何值时向量组线性相关。

查看解答

行列式法：

\[ \begin{vmatrix} 1&1&2\\ 1&2&\lambda\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=1(2-\lambda)-1(1-0)+2(1-0)=3-\lambda \]

当 \(\lambda=3\) 时行列式为 0，线性相关（此时 \(\alpha_3=1\cdot\alpha_1+1\cdot\alpha_2\)，验算 \((1,1,0)+(1,2,1)=(2,3,1)\)；\(\lambda=3\) 时 \(\alpha_3=(2,3,1)\) ✓）；\(\lambda\ne3\) 时线性无关。

例 6（★★★★ 真题风格）

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，证明 \(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\) 也线性无关。

查看解答

设 \(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0\)，整理系数：

\[ (k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0 \]

由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 无关：

\[ \begin{cases} k_1+k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0 \end{cases}\qquad \begin{vmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=2\ne0 \]

方程组只有零解 \(k_1=k_2=k_3=0\)，故 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 线性无关。

（一般规律：\(\beta_i=\sum c_{ji}\alpha_j\) 时，\(\beta\) 组无关 \(\iff\) 系数矩阵 \(C=(c_{ji})\) 可逆。本题 \(C\) 行列式为 2。）

3.2.2 常用结论速查

必背结论

① 含零向量、或含两个成比例的向量 \(\Rightarrow\) 相关；

② 部分相关 \(\Rightarrow\) 整体相关；逆否：整体无关 \(\Rightarrow\) 部分无关（易错两方向都不能反推）；

③ 无关组添加分量（延长每个向量）仍无关；相关组去掉分量（截短）仍相关；

④ \(n+1\) 个 \(n\) 维向量必相关（个数 > 维数必相关）；

⑤ \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 无关而 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta\) 相关 \(\Rightarrow\) \(\beta\) 可由前者唯一线性表示；

⑥ 相关 \(\iff\) 至少有一个向量可由其余向量线性表示。

练习 3（★☆☆☆）

判断 \((1,2,3)\) 与 \((2,4,6)\) 的相关性。

查看答案

成比例（后者是前者的 2 倍），线性相关。

练习 4（★★☆☆）

设 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)，\(t\) 取何值时向量组线性相关？

查看答案

\(r_2-r_1=(0,1,2)\)，\(r_3-r_1=(0,2,t-1)\)，\(r_3-2r_2=(0,0,t-5)\)，行列式 \(=t-5\)。

\(t=5\) 时线性相关（此时 \(\alpha_3=2\alpha_2-\alpha_1\)：\(2(1,2,3)-(1,1,1)=(1,3,5)\) ✓）；\(t\ne5\) 时无关。

练习 5（★★★☆）

设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，证明 \(\alpha_1\) 与 \(\alpha_1+\alpha_2\) 线性无关。

查看答案

设 \(k_1\alpha_1+k_2(\alpha_1+\alpha_2)=0\)，即 \((k_1+k_2)\alpha_1+k_2\alpha_2=0\)。

由无关性：\(k_1+k_2=0,\ k_2=0\)，解得 \(k_1=k_2=0\)，故线性无关。

3.3　极大无关组与向量组的秩

定义设向量组 \(T\) 的一个部分组 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\) 满足：① 其本身线性无关；② \(T\) 中任一向量都可由它线性表示，则称其为 \(T\) 的极大线性无关组，\(r\) 称为向量组的秩 \(r(T)\)。 （把向量按列拼成矩阵 \(A\)，则 \(r(T)=r(A)\)。极大无关组不唯一，但所含向量个数唯一。）
求极大无关组的标准流程

① 向量按列拼成矩阵；② 作初等行变换化为行阶梯形（行变换不改变列向量之间的线性关系）；③ 每个台阶取一列，对应位置的原始向量构成极大无关组；④ 继续化为行最简形可读出其余向量的表示系数。

例 7（★★★☆ 方法）

求向量组 \(\alpha_1=(1,1,3,1)\)，\(\alpha_2=(-1,1,-1,3)\)，\(\alpha_3=(5,-2,8,-9)\)，\(\alpha_4=(-1,3,1,7)\) 的一个极大无关组，并把其余向量用它线性表示。

查看解答

按列拼矩阵并作行变换：

\[ \begin{pmatrix} 1&-1&5&-1\\ 1&1&-2&3\\ 3&-1&8&1\\ 1&3&-9&7 \end{pmatrix}\xrightarrow[r_4-r_1]{\ r_2-r_1,\ r_3-3r_1\ }\begin{pmatrix} 1&-1&5&-1\\ 0&2&-7&4\\ 0&2&-7&4\\ 0&4&-14&8 \end{pmatrix} \]

第 3、4 行都是第 2 行的倍数，行阶梯形只有 2 个非零行，\(r=2\)，主元落在第 1、2 列。

极大无关组取 \(\alpha_1,\alpha_2\)。设 \(\alpha_3=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x-y=5,\ x+y=-2\Rightarrow x=\tfrac32,\ y=-\tfrac72\)；验算第 3、4 分量：\(\tfrac32\cdot3-\tfrac72\cdot(-1)=8\)，\(\tfrac32-\tfrac72\cdot3=-9\) ✓。

设 \(\alpha_4=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x-y=-1,\ x+y=3\Rightarrow x=1,\ y=2\)；验算：\(3-2=1\) ✓，\(1+6=7\) ✓。

故 \(\alpha_3=\tfrac32\alpha_1-\tfrac72\alpha_2\)，\(\alpha_4=\alpha_1+2\alpha_2\)。

例 8（★★☆☆）

求 \(\alpha_1=(1,2,1)\)，\(\alpha_2=(2,4,2)\)，\(\alpha_3=(1,0,2)\)，\(\alpha_4=(3,4,5)\) 的秩与一个极大无关组。

查看解答

按列拼矩阵：

\[ \begin{pmatrix} 1&2&1&3\\ 2&4&0&4\\ 1&2&2&5 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1}\begin{pmatrix} 1&2&1&3\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&1&2 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+\frac12r_2}\begin{pmatrix} 1&2&1&3\\ 0&0&-2&-2\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} \]

三个非零行，\(r=3\)；主元在第 1、3、4 列，极大无关组取 \(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)，且 \(\alpha_2=2\alpha_1\)。

练习 6（★★☆☆）

求 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(2,3,4)\) 的秩与极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。

查看答案

\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)（验算 \((1,1,1)+(1,2,3)=(2,3,4)\)），\(\alpha_1,\alpha_2\) 不成比例故无关。

秩为 2，极大无关组 \(\alpha_1,\alpha_2\)。

练习 7（★★☆☆）

求 \(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,3,2)\) 的秩与极大无关组，并表示其余向量。

查看答案

设 \(\alpha_3=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x=1,\ x+y=3\Rightarrow y=2\)；验算第三分量 \(y=2\) ✓。

\(\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2\)，秩为 2，极大无关组 \(\alpha_1,\alpha_2\)。

3.4　向量组等价与表示定理

定义若向量组 \(A:\ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 与 \(B:\ \beta_1,\cdots,\beta_t\) 能互相线性表示，则称两向量组等价。
判定与性质 \[ A\text{ 与 }B\text{ 等价}\iff r(A)=r(B)=r(A,B)\ (\text{合并起来看秩}) \]

① 若 \(A\) 可由 \(B\) 表示，则 \(r(A)\le r(B)\)；

② 等价 \(\Rightarrow\) 秩相等；易错　秩相等推不出等价（如 \((1,0)\) 组与 \((0,1)\) 组秩都为 1 却互相表示不了）；

③ 若 \(\beta_i=\sum_j c_{ji}\alpha_j\) 且表示矩阵 \(C\) 可逆，则两组等价（可逆 ⟹ 反解回去）。

例 9（★★☆☆）

设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 无关，\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_1-\alpha_2\)。证明向量组 \((\alpha_1,\alpha_2)\) 与 \((\beta_1,\beta_2)\) 等价。

查看解答

正向已给：\(\beta_1,\beta_2\) 由 \(\alpha\) 组表示。反向解出（表示矩阵 \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) 行列式 \(-2\ne0\)，可逆）：

\[ \alpha_1=\frac{\beta_1+\beta_2}{2},\qquad \alpha_2=\frac{\beta_1-\beta_2}{2} \]

两边可互相表示，故等价（两组秩都是 2）。

练习 8（★★★☆）

判断向量组 \(A:\ \alpha_1=(1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1)\) 与 \(B:\ \beta_1=(1,1)\)，\(\beta_2=(1,2)\) 是否等价。

查看答案

\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_1+2\alpha_2\)；反解 \(\alpha_1=2\beta_1-\beta_2\)，\(\alpha_2=\beta_2-\beta_1\)（验算：\(2(1,1)-(1,2)=(1,0)\)）。

互相可表示，等价；且 \(r(A)=r(B)=r(A,B)=2\)。

3.5　章末自测（10 题，建议限时 65 分钟）

自测 1（选择 · ★★★☆）

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，则向量组 \(\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_1\)：

A. 线性相关　　B. 线性无关　　C. 无法确定

查看答案

系数矩阵 \(\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\) 行列式为 2，可逆（本章例 6），选 B。

自测 2（选择 · ★★★☆ 易错）

下列命题正确的是：
A. 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 中任意两个都线性无关，则整体线性无关
B. 若 \(\alpha_1\) 不能由 \(\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示，则 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关
C. 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关，则任一向量都可由其余两个表示
D. 向量组 \((1,0),(0,1),(1,1)\) 线性相关

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A 错：反例正是 D 的三个向量（两两不共线，但 \((1,0)+(0,1)=(1,1)\) 相关）；

B 错：如 \(\alpha_1=(1,0)\), \(\alpha_2=(2,0)\), \(\alpha_3=(3,0)\) 共线相关，但取法不当仍可能「不能表示」（正确的等价条件见结论⑥：相关只是至少一个向量可由其余表示）；

C 错：只有「至少一个」；D 正确，选 D。

自测 3（填空 · ★★☆☆）

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，\(\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，则 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\)

查看答案

\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 本身是极大无关组，\(\alpha_4\) 可由其表示不增加秩，故秩为 3。

自测 4（填空 · ★☆☆☆）

5 维向量组中线性无关的向量最多有　　个。

查看答案

个数不能超过维数（\(n+1\) 个 \(n\) 维必相关），最多 5 个。

自测 5（填空 · ★★★☆）

把 \(\alpha=(1,2,3)\) 表示为 \(\beta_1=(1,1,0)\)，\(\beta_2=(1,0,1)\)，\(\beta_3=(0,1,1)\) 的线性组合。

查看答案

设 \(x\beta_1+y\beta_2+z\beta_3=\alpha\)：\(x+y=1,\ x+z=2,\ y+z=3\)。

三式相加得 \(x+y+z=3\)，逐个回代：\(z=2,\ y=3-2=1,\ x=1-1=0\)。

故 \(\alpha=0\cdot\beta_1+\beta_2+2\beta_3=\beta_2+2\beta_3\)（验算：\((1,0,1)+2(0,1,1)=(1,2,3)\)）。

自测 6（填空 · ★★★☆）

设 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性表示且表示式唯一，则 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta)=\)

查看答案

表示唯一 \(\Rightarrow\) \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关（秩 3），加入 \(\beta\) 后仍可由其表示，秩不变，为 3。

自测 7（解答 · ★★★☆）

求 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(2,3,4)\)，\(\alpha_4=(3,5,7)\) 的秩与一个极大无关组，并把其余向量线性表示。

查看解答

按列拼矩阵行变换：\(r_2-r_1=(0,1,2)\)，\(r_3-2r_1=(0,1,2)\)，\(r_4-3r_1=(0,2,4)\)，后两行再减 \(r_2\) 全为零，阶梯形只有 2 个非零行，\(r=2\)。

主元在第 1、2 列，极大无关组取 \(\alpha_1,\alpha_2\)。

\(\alpha_3=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x+y=2,\ x+2y=3\Rightarrow y=1,\ x=1\)，即 \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)（第三分量 \(1+3=4\) ✓）。

\(\alpha_4=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x+y=3,\ x+2y=5\Rightarrow y=2,\ x=1\)，即 \(\alpha_4=\alpha_1+2\alpha_2\)（第三分量 \(1+6=7\) ✓）。

自测 8（解答 · ★★★★）

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，讨论 \(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3-\alpha_1\) 的线性相关性；若相关，写出一组具体的相关系数。

查看解答

设 \(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0\)：

\[ (k_1-k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0 \]

系数矩阵 \(\begin{vmatrix} 1&0&-1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=1-1=0\)，存在非零解，线性相关。

解 \(\begin{cases} k_1-k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0 \end{cases}\)：取 \(k_3=1\Rightarrow k_1=1,\ k_2=-1\)，即

\[ \beta_1-\beta_2+\beta_3=0\quad\text{（直接展开验证：}(\alpha_1+\alpha_2)-(\alpha_2+\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=0\text{）} \]

自测 9（解答 · ★★★☆）

设 \(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,4)\)，\(\alpha_3=(1,a,a^2)\)，\(a\) 取何值时向量组线性相关？

查看解答

按列拼是范德蒙结构（\(x_1=1,x_2=2,x_3=a\)）：

\[ \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&2&a\\ 1&4&a^2 \end{vmatrix}=(2-1)(a-1)(a-2) \]

相关 \(\iff\) 行列式为零 \(\iff a=1\) 或 \(a=2\)（此时 \(\alpha_3=\alpha_1\) 或 \(\alpha_3=\alpha_2\)）。

自测 10（解答 · ★★★★ 冲刺）

判断向量组 \(A:\ \alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\) 与 \(B:\ \beta_1=(1,2,1)\)，\(\beta_2=(1,1,1)\) 是否等价。

查看解答

先看 \(B\) 能否由 \(A\) 表示：

\(\beta_1=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x=1,\ x+y=2\Rightarrow y=1\)（第三分量 \(y=1\) ✓），\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)；

\(\beta_2=x\alpha_1+y\alpha_2\)：\(x=1,\ x+y=1\Rightarrow y=0\)，\(\beta_2=\alpha_1\)。

反向：\(\alpha_1=\beta_2\)，\(\alpha_2=\beta_1-\beta_2\)（验算 \((1,2,1)-(1,1,1)=(0,1,1)\) ✓）。

互相可表示，等价（且 \(r(A)=r(B)=r(A,B)=2\)，与判定定理一致）。

3.6　本章考点总结

考点常见题型重要度
相关性判定（定义法 / 秩法 / 行列式法）选择 + 含参小题★★★★★
线性表示的存在性与唯一性小题，接第 4 章方程组★★★★
求极大无关组并表示其余向量解答大题片段★★★★★
抽象组相关性证明（例 4/6 型）解答题片段★★★★
等价与表示定理、秩的不等式选择 / 证明★★★
与后续章节的接口

① 「\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_s\) 表示 \(\iff r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta)\)」就是第 4 章非齐次方程组有解的秩判据；

② 基础解系（第 4 章）= 解空间的一个极大无关组，必须线性无关；

③ 矩阵秩 \(r(A)\)= 列向量组的秩 = 行向量组的秩（三秩相等），第 2、4 章反复使用。