第 4 章　随机变量的数字特征

\[ E(X)=\sum_{k=1}^{5}k\cdot\frac{k}{15}=\frac{1+4+9+16+25}{15}=\frac{55}{15}=\frac{11}{3} \]

\[ E(X^2)=\sum_{k=1}^{5}k^2\cdot\frac{k}{15}=\frac{1+8+27+64+125}{15}=\frac{225}{15}=15 \]

注意 \(E(X^2)\neq\bigl[E(X)\bigr]^2=\frac{121}{9}\)。这个平方差正是方差的来源（见例 4）。

\[ E(X)=\int_0^1 x\cdot 2x\,dx=\frac{2}{3},\qquad E(X^2)=\int_0^1 x^2\cdot 2x\,dx=\frac{1}{2} \]

\[ E(e^X)=\int_0^1 e^x\cdot 2x\,dx=2\int_0^1 x e^x\,dx=2\Big[(x-1)e^x\Big]_0^1=2\big[0-(-1)\big]=2 \]

\[ E\!\left(\frac{1}{X}\right)=\int_0^1 \frac{1}{x}\cdot 2x\,dx=\int_0^1 2\,dx=2 \]

套路总结：全部是「\(g(x)\) 乘密度再积分」，全程没有出现 \(Y=e^X\) 或 \(Y=\frac{1}{X}\) 的分布。若先求分布再算期望，\(E(1/X)\) 的密度推导非常繁琐——函数期望定理就是为绕开它而生。

密度 \(f(x)=\frac{1}{\pi}\)（\(0\le x\le\pi\)），故

\[ E(\sin X)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,dx=\frac{1}{\pi}\Big[-\cos x\Big]_0^\pi=\frac{2}{\pi} \]

\[ E(X)=\frac{\pi}{2},\qquad E(X^2)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi x^2\,dx=\frac{\pi^2}{3} \]

\(E(X)=\frac{\pi}{2}\) 正是区间中点（均匀分布的期望恒为中点，见 4.3 总表）。

例 1 已算得 \(E(X)=\frac{11}{3}\)，\(E(X^2)=15\)，故

\[ D(X)=E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2=15-\frac{121}{9}=\frac{135-121}{9}=\frac{14}{9} \]

例 3 已算得 \(E(X)=\frac{\pi}{2}\)，\(E(X^2)=\frac{\pi^2}{3}\)，故

\[ D(X)=\frac{\pi^2}{3}-\frac{\pi^2}{4}=\frac{\pi^2}{12} \]

（与总表 \(\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{\pi^2}{12}\) 一致。）

再算 \(E(\sin^2X)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{1}{2}\)，而 \(E(\sin X)=\frac{2}{\pi}\)（例 3），故

\[ D(\sin X)=\frac12-\frac{4}{\pi^2},\qquad D(2\sin X+1)=4\Bigl(\frac12-\frac{4}{\pi^2}\Bigr)=2-\frac{16}{\pi^2} \]

期望用线性（无条件）：

\[ E(X-2Y)=1-2\times 2=-3 \]

方差用一般和差公式（此时并未告知独立，协方差项必须保留）：

\[ D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-2\cdot 1\cdot 2\operatorname{Cov}(X,Y)=4+36-4=36 \]

\[ D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-2\cdot 2\cdot(-1)\operatorname{Cov}(X,Y)=16+9-4=21 \]

易错：把 \(D(X-2Y)\) 写成 \(D(X)+4D(Y)\)。只有协方差为零（如独立）时才能省略，本题 \(\operatorname{Cov}=1\) 必须带着。

\(f(x)\) 是偶函数 \(\Rightarrow\) \(xf(x)\) 是奇函数，在对称区间上积分为零：

\[ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot\frac12 e^{-|x|}dx=0 \]

于是 \(D(X)=E(X^2)=2\int_0^{+\infty}x^2\cdot\frac12 e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx=2\)（分部积分两次，或用 \(\Gamma(3)=2!=2\)）。

套路总结：密度为偶函数时期望为 0、方差直接等于 \(E(X^2)\)，省一半计算。「对称性」是数字特征题的第一反应。

由 \(\dfrac{\lambda e^{-\lambda}}{1!}=\dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\) 得 \(\lambda=2\)（\(\lambda\gt 0\)）。

于是 \(E(X)=D(X)=2\)，\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+4=6\)，

\[ E(2X^2-3)=2\times 6-3=9 \]

归一化：\(\int_0^1(ax+b)dx=\frac{a}{2}+b=1\)。

期望：\(\int_0^1x(ax+b)dx=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{7}{12}\)。

由第一式 \(a=2-2b\)，代入第二式：\(\frac{2-2b}{3}+\frac{b}{2}=\frac{7}{12}\)，即 \(\frac{2}{3}-\frac{2b}{3}+\frac{b}{2}=\frac{7}{12}\)，\(-\frac{b}{6}=-\frac{1}{12}\)，得 \(b=\frac12\)，\(a=1\)。

再算 \(E(X^2)=\int_0^1x^2(x+\frac12)dx=\frac13+\frac16=\frac12\)，故

\[ D(X)=\frac12-\Bigl(\frac{7}{12}\Bigr)^2=\frac{72-49}{144}=\frac{23}{144} \]

边缘分布：\(P(X=0)=0.5,\ P(X=1)=0.5\)，同 \(Y\)。故 \(E(X)=E(Y)=0.5\)。

\(E(XY)\) 只有 \((1,1)\) 处非零：\(E(XY)=1\times1\times0.2=0.2\)。

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=0.2-0.5\times0.5=-0.05 \]

\(D(X)=D(Y)=0.5\times0.5=0.25\)，\(\sqrt{D(X)D(Y)}=0.25\)，故

\[ \rho_{XY}=\frac{-0.05}{0.25}=-0.2 \]

\(\rho\lt0\)：\(X\) 大时 \(Y\) 倾向小，负相关。易错：\(E(XY)\) 不是 \(E(X)E(Y)\)，必须按联合分布对乘积 \(xy\) 加权求和。

先求边缘量（在正方形上积分）：

\[ E(X)=\int_0^1\!\!\int_0^1 x(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\Bigl(x^2+\frac{x}{2}\Bigr)dx=\frac13+\frac14=\frac{7}{12} \]

\[ E(X^2)=\int_0^1\!\!\int_0^1 x^2(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\Bigl(x^3+\frac{x^2}{2}\Bigr)dx=\frac14+\frac16=\frac{5}{12} \]

\[ D(X)=\frac{5}{12}-\Bigl(\frac{7}{12}\Bigr)^2=\frac{60-49}{144}=\frac{11}{144} \]

由对称性 \(E(Y)=\frac{7}{12}\)，\(D(Y)=\frac{11}{144}\)。再算混合矩：

\[ E(XY)=\int_0^1\!\!\int_0^1 xy(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\!\!\int_0^1(x^2y+xy^2)\,dy\,dx=2\times\frac13\times\frac12=\frac13 \]

\[ \operatorname{Cov}(X,Y)=\frac13-\frac{7}{12}\times\frac{7}{12}=\frac{48-49}{144}=-\frac{1}{144} \]

\[ \rho_{XY}=\frac{-1/144}{11/144}=-\frac{1}{11},\qquad D(X+Y)=\frac{11}{144}+\frac{11}{144}+2\Bigl(-\frac{1}{144}\Bigr)=\frac{20}{144}=\frac{5}{36} \]

套路总结：二维连续型的固定流程——\(E(X)\)、\(E(X^2)\)（对联合密度积分得边缘量）→ \(E(XY)\) → \(\operatorname{Cov}\) → \(\rho\) → \(D(X\pm Y)\)。五个量一环扣一环，全程只做积分。

不相关：密度 \(f_\theta(t)=\frac{1}{2\pi}\)（\(0\le t\le 2\pi\)）。

\[ E(X)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0,\qquad E(Y)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin t\,dt=0 \]

\[ E(XY)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\sin 2t\,dt=0 \]

故 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0-0=0\)，即 \(\rho_{XY}=0\)（可算出 \(D(X)=D(Y)=\frac12\gt0\)，相关系数有意义）。

不独立：恒有 \(X^2+Y^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，即两个随机变量被一个等式牢牢锁住。若独立，取值不可能始终保持这种约束（例如 \(P\bigl(X^2+Y^2=1\bigr)=1\) 与「各自自由取值」矛盾）。

几何直观：\((X,Y)\) 是单位圆上的均匀点，\(X,Y\) 各自都在 \([-1,1]\) 振荡且无线性趋势，但知道 \(X\) 后 \(Y\) 只能取 \(\pm\sqrt{1-X^2}\) 两个值。这就是「不相关 ≠ 无关系」的标准注脚，选择题常直接考此例或其离散版。

\(E(X)=1,\ E(Y)=2,\ D(X)=4,\ D(Y)=9\)。

\(\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2=0.5\times 2\times 3=3\)；\(E(XY)=\operatorname{Cov}+E(X)E(Y)=3+2=5\)。

\[ E(X+Y)=3 \]

\[ D(X+Y)=4+9+2\times3=19,\qquad D(X-Y)=4+9-2\times3=7 \]

套路总结：二维正态的五个参数就是五个数字特征，全部「读表即得」，无需积分。这类小题 30 秒内拿分。

两式联立（和差公式）：

\[ 8+2\operatorname{Cov}(X,Y)=10,\qquad 8-2\operatorname{Cov}(X,Y)=6 \]

两式都给出 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=1\)（相互印证）。于是

\[ \rho_{XY}=\frac{1}{\sqrt4\sqrt4}=\frac14 \]

（附带结论：\(D(X+Y)=D(X-Y)\iff \operatorname{Cov}(X,Y)=0\iff X,Y\) 不相关。）

思路：先求 \(\min\)、\(\max\) 的密度（第 3 章公式：独立时 \(F_{\min}(z)=1-\bigl[1-F(z)\bigr]^2\)，\(F_{\max}(z)=F^2(z)\)），再积分。

对 \(z\gt 0\)：\(F(z)=1-e^{-z}\)，故

\[ F_{\min}(z)=1-e^{-2z}\ \Rightarrow\ f_{\min}(z)=2e^{-2z} \]

\[ F_{\max}(z)=(1-e^{-z})^2\ \Rightarrow\ f_{\max}(z)=2(1-e^{-z})e^{-z}=2e^{-z}-2e^{-2z} \]

\[ E\bigl[\min(X,Y)\bigr]=\int_0^{+\infty}z\cdot2e^{-2z}dz=\frac{1}{2} \]

\[ E\bigl[\max(X,Y)\bigr]=\int_0^{+\infty}z\bigl(2e^{-z}-2e^{-2z}\bigr)dz=2\times1-2\times\frac14=\frac32 \]

验证：\(\min+\max=X+Y\)，故期望之和必须等于 \(E(X)+E(Y)=2\)，而 \(\frac12+\frac32=2\)，吻合。
套路总结：两个独立指数分布的最小值仍指数（参数相加，\(E=\frac{1}{2\lambda}\)，这就是「串联寿命」模型）；验证用「\(\min+\max=X+Y\)」非常有效。

先把事件中心化：\(40\lt X\lt 60\) 即 \(|X-50|\lt 10\)，\(\varepsilon=10\)。由切比雪夫不等式：

\[ P(40\lt X\lt 60)=P\bigl(|X-50|\lt 10\bigr)\ge 1-\frac{25}{100}=0.75 \]

即不论 \(X\) 服从什么分布，该概率至少 0.75。（若已知 \(X\sim N(50,25)\)，真实值 \(2\Phi(2)-1=0.9544\)，可见界确实保守。）

(1) 密度 \(f(x)=\frac12\)（\(0\le x\le 2\)）：

\[ E(X^k)=\int_0^2x^k\cdot\frac12dx=\frac{2^k}{k+1} \]

验证：\(E(X)=\frac22=1\)，\(E(X^2)=\frac43\)，\(D(X)=\frac43-1=\frac13\)，与总表 \(\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{4}{12}\) 一致。

(2) 例 11 已算得 \(D(X)=D(Y)=\frac{11}{144}\)，\(\operatorname{Cov}(X,Y)=-\frac{1}{144}\)，故

\[ \Sigma=\begin{pmatrix}\dfrac{11}{144} & -\dfrac{1}{144}\\[8px] -\dfrac{1}{144} & \dfrac{11}{144}\end{pmatrix} \]