第 2 章　一维随机变量及其分布

B。逐条检验三条件：

A：\(x\to-\infty\) 时 \(e^x\to 0\)，\(F\to 1\)；\(x\to+\infty\) 时 \(F\to 0\)——两个极限都错（还是减函数），排除。

B：\(\arctan x\) 从 \(-\frac{\pi}{2}\) 增到 \(\frac{\pi}{2}\)，故 \(F\) 从 0 增到 1，单调不减且处处连续（右连续），三个条件全满足。

C：\(x\to+\infty\) 时 \(\ln x\to+\infty\neq 1\)，规范性破坏，排除。

D：在 \(x=0\) 处 \(F(0)=1\) 而右侧 \(F(0^+)=1\)、左侧 \(F(0^-)=1\)，但 \(x\gt 0\) 后 \(F=e^{-x}\lt 1\)，函数从 1 掉下来——不单调不减，排除。

自检分布律：\(0.2+0.3+0.1+0.4=1\)，合规。阶梯累积：

\[ F(x)=\begin{cases}0, & x\lt -1\\ 0.2, & -1\le x\lt 0\\ 0.5, & 0\le x\lt 1\\ 0.6, & 1\le x\lt 2\\ 1, & x\ge 2\end{cases} \]

\(P\{-0.5\lt X\le 1\}=F(1)-F(-0.5)=0.6-0.2=0.4\)（即 \(X=0\) 与 \(X=1\) 两段：0.3+0.1）。

\[ P\{X\le 0\mid X\le 1\}=\frac{P\{X\le 0\}}{P\{X\le 1\}}=\frac{0.5}{0.6}=\frac{5}{6} \]

易错：阶梯函数每段的「≤」在左端（右连续）；在跳跃点上，\(P\{X=1\}=F(1)-F(1^-)=0.6-0.5=0.1\)，与表格吻合。

由归一性（无穷等比数列，公比 \(\frac23\lt 1\)）：

\[ \sum_{k=1}^{\infty}a\Big(\frac{2}{3}\Big)^{k}=a\cdot\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2a=1\ \Rightarrow\ a=\frac{1}{2} \]

\[ P\{X\le 2\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9} \]

套路总结：含参分布律定参数，就是解方程 \(\sum p_k=1\)；几何级数求和是高频第一步。

(1) \(F\) 作为分布函数须 \(F(4^-)=F(4)=1\)（在 \(x=4\) 处衔接且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}F=1\)）：\(a+\dfrac{4-2}{8}=1\)，解得 \(a=\dfrac{3}{4}\)。于是 \(2\le x\lt 4\) 段为 \(F(x)=\dfrac34+\dfrac{x-2}{8}\)，且 \(F(2)=\dfrac34\gt F(2^-)=\dfrac12\)，\(F\) 在 \(x=2\) 处右连续且有跳跃，合规。

(2) \(P\{X=2\}=F(2)-F(2^-)=\dfrac34-\dfrac12=\dfrac14\)。

(3) \(P\{1\lt X\le 3\}=F(3)-F(1)=\left(\dfrac34+\dfrac18\right)-\dfrac14=\dfrac78-\dfrac28=\dfrac58\)。

结构自检：\(X\) 是「混合型」——\((0,2)\) 上连续（密度 \(\frac14\)）、在 \(x=2\) 有原子概率 \(\frac14\)、\((2,4)\) 上连续（密度 \(\frac18\)）、\(x=4\) 处无跳跃；概率总量 \(\frac12+\frac14+\frac14=1\)。

(1) \(\int_0^1 cx\,dx=\dfrac{c}{2}=1\)，故 \(c=2\)。

(2) \(P=\int_{0.2}^{0.5}2x\,dx=0.5^2-0.2^2=0.25-0.04=0.21\)。

(3) 分段积分：

\[ F(x)=\begin{cases}0, & x\le 0\\ x^{2}, & 0\lt x\lt 1\\ 1, & x\ge 1\end{cases} \]

自检：\(F(0.5)-F(0.2)=0.21\) 与 (2) 一致；\(F\) 单调、\(F(\pm\infty)=0,1\)、连续，合规。

在 \(x\gt 0\) 处求导：

\[ f(x)=F'(x)=-\big[e^{-x}-(1+x)e^{-x}\big]=x e^{-x} \]

故 \(f(x)=\begin{cases}x e^{-x}, & x\gt 0\\ 0, & x\le 0\end{cases}\)（\(x=0\) 处按 0 补充定义即可，单点不影响密度）。

\(P\{X\le 1\}=F(1)=1-2e^{-1}\approx 1-0.7358=0.2642\)。

\(P\{X\gt 2\}=1-F(2)=3e^{-2}\approx 0.4060\)。

自检：\(\int_0^{+\infty}xe^{-x}dx=1\)（分部积分 \(\Gamma(2)=1!\)），密度归一无误。

\(X\sim B\left(5,\frac12\right)\)，\(P\{X=k\}=C_5^k\left(\frac12\right)^5\)：

自检：\((1+5+10+10+5+1)/32=32/32=1\)。

(2) \((n+1)p=6\times\frac12=3\) 为整数，最可能值为 \(k_0=3\) 与 \(k_0-1=2\)（两处概率同为 \(\frac{10}{32}\)，与表格一致）。

(3) \(P\{X\ge 1\}=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}\)。

严格说 \(X\sim B(500,0.01)\)。\(n=500\) 大、\(p=0.01\) 小，取 \(\lambda=np=5\)，用泊松 \(\pi(5)\) 近似：

\[ P\{X\ge 2\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}\approx 1-e^{-5}-5e^{-5}=1-6e^{-5}\approx 1-0.0404=0.9596 \]

套路总结：见到「\(n\) 大、\(p\) 小、求至少/恰有」先想泊松近似；\(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=e^{\lambda}\) 是全部计算的根。

(1) \(P\{X=4\}=q^{3}p=0.9^{3}\times 0.1=0.729\times 0.1=0.0729\)。

(2) 「前 5 次失败」即 \(X\gt 5\)；「再试 3 次内成功」即第 6、7、8 次中至少一次成功（每次成功率仍为 0.1，独立性保证）：

\[ P\{X\le 8\mid X\gt 5\}=\frac{P\{5\lt X\le 8\}}{P\{X\gt 5\}}=\frac{0.9^{5}-0.9^{8}}{0.9^{5}}=1-0.9^{3}=0.271 \]

(3) \(P\{X\le 3\}=1-q^{3}=1-0.9^{3}=0.271\)，两者相等——这就是无记忆性：已失败的次数不改变未来的成功规律。

\(X\) 服从超几何分布，\(P\{X=k\}=\dfrac{C_3^k C_7^{4-k}}{C_{10}^{4}}\)，分母 \(C_{10}^4=210\)。

\(P\{X=1\}=\dfrac{C_3^1C_7^3}{210}=\dfrac{3\times 35}{210}=\dfrac{105}{210}=\dfrac{1}{2}\)。

\(P\{X\ge 1\}=1-P\{X=0\}=1-\dfrac{C_7^4}{210}=1-\dfrac{35}{210}=\dfrac{5}{6}\)。

完备性自检：\(k=0,1,2,3\) 概率 \(\frac{35+105+63+7}{210}=\frac{210}{210}=1\)（\(C_3^2C_7^2=63\)，\(C_3^3C_7^1=7\)）。

\(f(x)=\dfrac15\)（\(0\lt x\lt 5\)）。

(1) \(P=\dfrac{4-2}{5}=\dfrac{2}{5}=0.4\)。

(2) \(P=\dfrac{5-4.5}{5}=\dfrac{0.5}{5}=0.1\)。

(3) \[ F(x)=\begin{cases}0, & x\le 0\\ \dfrac{x}{5}, & 0\lt x\lt 5\\ 1, & x\ge 5\end{cases} \]

套路总结：均匀分布概率 = 长度比，千万别再积分浪费时间；但写 \(F(x)\) 必须分段。

(1) \(P\{X\le 100\}=1-e^{-100/100}=1-e^{-1}\approx 0.6321\)。

(2) 由无记忆性：

\[ P\{X\gt 150\mid X\gt 100\}=P\{X\gt 50\}=e^{-50/100}=e^{-0.5}\approx 0.6065 \]

直接按定义算也一样：\(\dfrac{e^{-1.5}}{e^{-1}}=e^{-0.5}\)。易错：写成 \(P\{X\gt 150\}=e^{-1.5}\approx 0.2231\)——那是不附加「已知用到 100 小时」的结果，读题时分清条件。

\(\mu=3\)，\(\sigma=2\)，标准化 \(Z=\dfrac{X-3}{2}\sim N(0,1)\)。

(1) \(P\{X\le 5\}=P\left\{Z\le\frac{5-3}{2}\right\}=\Phi(1)=0.8413\)。

(2) \(P\{-1\lt X\lt 7\}=P\{-2\lt Z\lt 2\}=2\Phi(2)-1=2\times 0.9772-1=0.9544\)。

(3) \(P\{X\gt 7\}=P\{Z\gt 2\}=1-\Phi(2)=0.0228\)。

自检：(2)(3) 相加再加 \(P\{X\le -1\}=\Phi(-2)=0.0228\)，总和 \(0.9544+0.0228+0.0228=1\)。

正态密度关于 \(x=\mu=1\) 对称，故区间 \((0,2)\) 关于 1 对称：

(1) \(P\{0\lt X\lt 2\}=P\{|X-1|\lt 1\}=2P\{X\lt 2\}-1=2\times 0.8-1=0.6\)。

(2) \(P\{X\ge 2\}=1-P\{X\lt 2\}=0.2\)。

(3) 由对称性 \(P\{X\le 0\}=P\{X\ge 2\}=0.2\)。

自检：\(P\{X\le 0\}+P\{0\lt X\lt 2\}+P\{X\ge 2\}=0.2+0.6+0.2=1\)。套路总结：凡与 \(\mu\) 对称的区间，概率只由「半边」决定，\(P\{|X-\mu|\lt c\}=2\Phi\left(\frac{c}{\sigma}\right)-1\)，未知 \(\sigma\) 也能解。

\(Y\ge 0\)，故 \(y\le 0\) 时 \(F_Y(y)=0\)。\(y\gt 0\) 时：

\[ F_Y(y)=P\{X^{2}\le y\}=P\{-\sqrt{y}\le X\le\sqrt{y}\}=\Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y})=2\Phi(\sqrt{y})-1 \]

求导（\(\Phi'=\varphi\)，复合链式法则）：

\[ f_Y(y)=2\varphi(\sqrt{y})\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{\varphi(\sqrt{y})}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}},\qquad y\gt 0 \]

自检：\(\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-1/2}e^{-y/2}dy\) 中令 \(y=t^2\) 化为 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)dt=1\)，归一。

\(y=e^x\) 严格递增，反函数 \(x=\ln y\)，\(h'(y)=\dfrac{1}{y}\)，值域 \(y\gt 0\)。由公式法：

\[ f_Y(y)=\varphi(\ln y)\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{y\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(\ln y)^{2}}{2}},\qquad y\gt 0 \]

此即对数正态分布（金融中资产价格模型的基础）。\(\ln y\to\pm\infty\) 时密度迅速趋 0，形状右偏。

\(y\lt 0\) 时 \(F_Y(y)=P\{|X|\le y\}=0\)（绝对值非负）。\(y\ge 0\) 时：

\[ F_Y(y)=P\{|X|\le y\}=P\{-y\le X\le y\}=2\Phi(y)-1,\qquad f_Y(y)=2\varphi(y) \]

自检：\(\int_0^{+\infty}2\varphi(y)dy=2\times\frac12=1\)（标准正态对称性），归一无误。

套路总结：\(Y=|X|\)、\(Y=X^2\) 这类「折叠」函数，答案总是「正负两支密度之和」；对 \(X^2\) 因平方多一个 \(2\sqrt{y}\) 的因子，对 \(|X|\) 则是干净的二倍。