第 4 章　向量代数与空间解析几何

(1) \(|\vec{a}|=\sqrt{4+9+36}=7\)，故

\[ \cos\alpha=\frac{2}{7},\qquad \cos\beta=-\frac{3}{7},\qquad \cos\gamma=\frac{6}{7},\qquad \vec{a}^{\,\circ}=\left(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right) \]

（自查：三个余弦的平方和 \(=\frac{4+9+36}{49}=1\)，无误。）

(2) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times 1+(-3)\times 2+6\times 2=2-6+12=8\)，故

\[ \operatorname{prj}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}=\frac{8}{7} \]

投影向量为 \(\dfrac{8}{49}\vec{a}=\left(\dfrac{16}{49},-\dfrac{24}{49},\dfrac{48}{49}\right)\)。

(3) \(|\vec{b}|=\sqrt{1+4+4}=3\)，\(\operatorname{prj}_{\vec{b}}\vec{a}=\dfrac{8}{3}\)。

易错：两个投影不同——\(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 上的投影除以 \(|\vec{a}|\)，\(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 上的投影除以 \(|\vec{b}|\)，分母别混用。

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1-2-8=-9\)；\(|\vec{a}|=\sqrt{1+1+16}=3\sqrt{2}\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{1+4+4}=3\)。

\[ \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-9}{9\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\ \Rightarrow\ \theta=\frac{3\pi}{4} \]

夹角必须落在 \([0,\pi]\) 内，余弦为负说明是钝角，不能把答案写成 \(\frac{\pi}{4}\)。

\(\vec{AB}=(2,2,2)\)，\(\vec{AC}=(1,1,6)\)，则

\[ \vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 6\end{vmatrix}=\vec{i}(12-2)-\vec{j}(12-2)+\vec{k}(2-2)=(10,-10,0) \]

\[ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}\sqrt{100+100}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2} \]

套路总结：空间三角形面积 = 两边向量叉积模的一半；同时顺手得到平面的一个法向量（这正是求平面点法式的核心步骤）。

取 \(\vec{AB}=(-1,1,0)\)，\(\vec{AC}=(-1,0,1)\)，\(\vec{AD}=(0,1,1)\)，计算混合积：

\[ [\vec{AB}\ \vec{AC}\ \vec{AD}]=\begin{vmatrix}-1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix} \]

按第一行展开：\(=(-1)(0\cdot 1-1\cdot 1)-1\big((-1)\cdot 1-1\cdot 0\big)+0=(-1)(-1)-1(-1)=1+1=2\neq 0\)。

混合积非零，故四点不共面；四面体体积

\[ V=\frac{1}{6}\big|[\vec{AB}\ \vec{AC}\ \vec{AD}]\big|=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]

易错：四面体体积是混合积绝对值的 \(\frac{1}{6}\)（不是 \(\frac{1}{2}\)，也不是不取绝对值）。「三向量共面 \(\iff\) 混合积为零」是选择题高频判断。

设所求平面为束中成员：

\[ (x+y-z)+\lambda(x-y+z-2)=0,\qquad \vec{n}=(1+\lambda,\ 1-\lambda,\ -1+\lambda) \]

垂直于 \(\Pi_0\) 即 \(\vec{n}\cdot(1,1,1)=0\)：

\[ (1+\lambda)+(1-\lambda)+(-1+\lambda)=1+\lambda=0\ \Rightarrow\ \lambda=-1 \]

代回：\((x+y-z)-(x-y+z-2)=2y-2z+2=0\)，即

\[ y-z+1=0 \]

验证：\(L\) 上取点（解 \(x=1,\ y-z=-1\) 得 \((1,0,1)\)），代入 \(0-1+1=0\)，直线确在所求平面上；且 \((0,1,-1)\cdot(1,1,1)=0\)，与 \(\Pi_0\) 垂直。完备。

① 求方向向量（两法向量叉积）：

\[ \vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=(1,-1,1)\times(2,1,-1)=\vec{i}\big(1-1\big)-\vec{j}(-1+2)+\vec{k}(1+2)=(0,-3,3)\parallel(0,1,1) \]

展开过程：\(\vec{i}\big[(-1)(-1)-1\cdot 1\big]-\vec{j}\big[1\cdot(-1)-1\cdot 2\big]+\vec{k}\big[1\cdot 1-(-1)\cdot 2\big]=(0,\ -3,\ 3)\)。

② 找一个特殊点：令 \(y=0\)，方程组变为 \(x+z=2,\ 2x-z=1\)，相加得 \(3x=3\)，\(x=1,\ z=1\)，取 \(M_0(1,0,1)\)（验证：\(1-0+1-2=0\)，\(2+0-1-1=0\)）。

③ 写出方程：

\[ x=1,\qquad \frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}\qquad(\text{对称式});\qquad x=1,\ y=t,\ z=1+t\qquad(\text{参数式}) \]

套路总结：一般式化对称式三步——叉积求 \(\vec{s}\)、令一变量为零解特殊点、代入模板。特殊点不唯一，答案形式可不同但直线相同。

直线平行于两个平面，则方向向量 \(\vec{s}\) 同时垂直于两个法向量，故 \(\vec{s}\parallel\vec{n}_1\times\vec{n}_2\)：

\[ \vec{s}=(1,2,-1)\times(1,1,3)=\vec{i}(6+1)-\vec{j}(3+1)+\vec{k}(1-2)=(7,-4,-1) \]

展开：\(\vec{i}\big[2\cdot 3-(-1)\cdot 1\big]-\vec{j}\big[1\cdot 3-(-1)\cdot 1\big]+\vec{k}\big[1\cdot 1-2\cdot 1\big]=(7,-4,-1)\)。

所求直线为

\[ \frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z-1}{-1} \]

易错：直线平行于平面是 \(\vec{s}\cdot\vec{n}=0\)，方向向量垂直于法向量；而「直线垂直于平面」才有 \(\vec{s}\parallel\vec{n}\)。两种「垂（平）直」别串。

① 距离：\(2\times 2+1-0-1=4\)，\(\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)，

\[ d=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3} \]

② 垂足：过 \(M_0\) 作平面的垂线，方向取法向量 \(\vec{n}=(2,1,-1)\)：\((x,y,z)=(2,1,0)+t(2,1,-1)\)。代入平面方程：

\[ 2(2+2t)+(1+t)-(-t)-1=4+4t+1+t+t-1=4+6t=0\ \Rightarrow\ t=-\frac{2}{3} \]

垂足 \(P=\left(2-\frac{4}{3},\ 1-\frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\)。

③ 对称点：\(M'=2P-M_0=\left(\frac{4}{3}-2,\ \frac{2}{3}-1,\ \frac{4}{3}-0\right)=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)\)。

自查：把 \(M'\) 代入平面左边：\(2\cdot(-\frac{2}{3})-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}-1=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}-1=-4\)，绝对值仍为 4，距离相等且符号相反（在平面另一侧），验证通过。

套路总结：「点到平面距离 + 垂足 + 对称点」三位一体，核心都是沿法向 \(\vec{n}\) 投影：垂足 \(=M_0-\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{|\vec{n}|^{2}}\vec{n}\)。

直线上取 \(M(2,-1,0)\)（分子为零的点），\(\vec{s}=(1,2,2)\)，\(\overrightarrow{MM_0}=(1,2,0)\)。

\[ \overrightarrow{MM_0}\times\vec{s}=(1,2,0)\times(1,2,2)=\vec{i}(4-0)-\vec{j}(2-0)+\vec{k}(2-2)=(4,-2,0) \]

\[ d=\frac{|(4,-2,0)|}{|\vec{s}|}=\frac{\sqrt{16+4}}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{2\sqrt{5}}{3} \]

易错：公式里是「叉积的模」除以「\(\vec{s}\) 的模」，分子必须开方；点 \(M\) 取直线上任一点都行，结果相同（可取分母为零的对称式点最省事）。

取 \(P_1(1,0,-1)\)，\(\vec{s}_1=(1,2,-1)\)；\(P_2(2,-1,2)\)，\(\vec{s}_2=(2,1,-1)\)；\(\overrightarrow{P_1P_2}=(1,-1,3)\)。

① 判定异面：先算 \(\vec{s}_2\times\overrightarrow{P_1P_2}=(2,1,-1)\times(1,-1,3)=\vec{i}(3-1)-\vec{j}(6+1)+\vec{k}(-2-1)=(2,-7,-3)\)，再点乘：

\[ [\vec{s}_1\ \vec{s}_2\ \overrightarrow{P_1P_2}]=\vec{s}_1\cdot(2,-7,-3)=2-14+3=-9\neq 0 \]

混合积非零，三向量不共面，故 \(L_1,L_2\) 异面。

② 求距离：公垂线方向 \(\vec{s}_1\times\vec{s}_2=(1,2,-1)\times(2,1,-1)=\vec{i}(-2+1)-\vec{j}(-1+2)+\vec{k}(1-4)=(-1,-1,-3)\)，

\[ |\vec{s}_1\times\vec{s}_2|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11} \]

\[ d=\frac{\big|[\vec{s}_1\ \vec{s}_2\ \overrightarrow{P_1P_2}]\big|}{|\vec{s}_1\times\vec{s}_2|}=\frac{9}{\sqrt{11}}=\frac{9\sqrt{11}}{11} \]

套路总结：判定两直线位置关系看两件事——\(\vec{s}_1\times\vec{s}_2\) 是否为零（平行与否）、混合积是否为零（共面与否）。组合出四种结论：相交（叉积非零且混合积零）、平行（叉积零）、重合（平行且共点）、异面（混合积非零）。

投影直线 = 投射平面（过 \(L\) 且垂直于 \(\Pi_0\) 的平面）与 \(\Pi_0\) 的交线。

① 用平面束找投射平面：

\[ (2x-y+z-1)+\lambda(x+y-z+1)=0,\qquad \vec{n}=(2+\lambda,\ -1+\lambda,\ 1-\lambda) \]

由 \(\vec{n}\perp\vec{n}_0=(1,2,1)\)：

\[ (2+\lambda)+2(-1+\lambda)+(1-\lambda)=1+2\lambda=0\ \Rightarrow\ \lambda=-\frac{1}{2} \]

代回乘以 2：\(3x-3y+3z-3=0\)，即投射平面 \(\Pi_1: x-y+z-1=0\)。

② 写投影直线：

\[ \begin{cases}x-y+z-1=0\\ x+2y+z-6=0\end{cases} \]

验证：\(L\) 上取点（两方程相加得 \(3x=0\)，取 \((0,0,1)\)，满足 \(0-0+1-1=0\)）；该点沿 \(\vec{n}_0=(1,2,1)\) 投到 \(\Pi_0\) 上：\((0,0,1)+t(1,2,1)\) 代入 \(\Pi_0\) 得 \(6t-5=0\)，\(t=\frac{5}{6}\)，得 \((\frac{5}{6},\frac{5}{3},\frac{11}{6})\)。检验它在两平面交线上：\(x-y+z-1=\frac{5}{6}-\frac{5}{3}+\frac{11}{6}-1=\frac{5-10+11-6}{6}=0\)，\(x+2y+z-6=\frac{5}{6}+\frac{10}{3}+\frac{11}{6}-6=\frac{5+20+11-36}{6}=0\)。通过。

易错：不能把 \(L\) 直接与 \(\Pi_0\) 联立当投影——那是交点（若相交）而非投影。投影方向必须沿 \(\Pi_0\) 的法向量，所以要先构造垂直于 \(\Pi_0\) 的投射平面。

(1) 绕 \(z\) 轴：\(z\) 不动，\(y^{2}\) 换成 \(x^{2}+y^{2}\)：

\[ z=x^{2}+y^{2}\quad(\text{旋转抛物面}) \]

绕 \(y\) 轴：\(y\) 不动，\(z=y^{2}\) 中的 \(z\) 换成 \(\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}}\)：

\[ \pm\sqrt{x^{2}+z^{2}}=y^{2}\ \Rightarrow\ x^{2}+z^{2}=y^{4} \]

（两边平方后同解，因为 \(y^{2}\ge 0\) 自动与「半径非负」相容。）

(2) 绕 \(x\) 轴（实轴）：\(x^{2}\) 不动，\(y^{2}\) 换成 \(y^{2}+z^{2}\)：

\[ \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}+z^{2}}{4}=1\quad(\text{双叶双曲面}) \]

绕 \(y\) 轴（虚轴）：\(y^{2}\) 不动，\(x^{2}\) 换成 \(x^{2}+z^{2}\)：

\[ \frac{x^{2}+z^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1\quad(\text{单叶双曲面}) \]

套路总结：绕实轴 → 双叶，绕虚轴 → 单叶。验证手段：令旋转轴变量取定值，截痕应是圆。

① 右边为 0 的二次齐次方程 → 圆锥面（\(z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，顶点在原点）；

② 一项负、右边 1 → 单叶双曲面（\(z=0\) 时截痕为单位圆，即「腰圆」）；

③ 一项负、右边 −1 → 双叶双曲面（即 \(\frac{z^{2}}{1}-x^{2}-y^{2}=1\)，沿 \(z\) 轴两支）；

④ 两个平方项同号等于 \(z\) 的一次项 → （旋转）抛物面；

⑤ 两个平方项一正一负等于一次项 → 双曲抛物面（马鞍面）；

⑥ 缺 \(z\) → 抛物柱面（母线平行 \(z\) 轴）。

易错：②与③只差右边符号，曲面类型完全不同；④与⑤只差一个符号，抛物面「椭圆型」与「双曲型」完全不同。识别题拼的就是这两个符号。

先验证 \(P\) 在曲面上：\(1+2+3=6\)，符合。

令 \(F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6\)，则法向量

\[ \vec{n}=\left(F_x,\ F_y,\ F_z\right)\big|_{P}=(2x,\ 4y,\ 6z)\big|_{P}=(2,4,6)\parallel(1,2,3) \]

切平面（过 \(P\)，以 \(\vec{n}\) 为法向）：

\[ (x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0\ \Rightarrow\ x+2y+3z=6 \]

法线（过 \(P\)，以 \(\vec{n}\) 为方向）：

\[ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} \]

套路总结：曲面 \(F(x,y,z)=0\) 的法向量就是 \((F_x,F_y,F_z)\)——这是解析几何留给多元微分学最重要的接口。若曲面写成 \(z=f(x,y)\)，则法向量为 \((f_x,f_y,-1)\)。第 5 章将系统展开。

把 \(z=1\) 代入球面方程：\(x^{2}+y^{2}=3\)，这是半径 \(\sqrt{3}\) 的圆。

参数方程：

\[ x=\sqrt{3}\cos t,\qquad y=\sqrt{3}\sin t,\qquad z=1\qquad (0\le t\lt 2\pi) \]

投影曲线：消去 \(z\) 已得投影柱面 \(x^{2}+y^{2}=3\)（母线平行 \(z\) 轴的圆柱面），令 \(z=0\)：

\[ \begin{cases}x^{2}+y^{2}=3\\ z=0\end{cases}\quad(xOy\ \text{面上的圆}) \]

套路总结：「球面被平面截」得到圆，圆心是球心在平面上的投影，半径 \(r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}\)（\(d\) 为球心到平面的距离）。本题 \(d=1\)，\(r=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)，与上面一致——两条路互查最稳。

由第二个方程 \(z=1-x-y\) 代入第一个方程消去 \(z\)：

\[ x^{2}+y^{2}=1-x-y\ \Rightarrow\ x^{2}+x+y^{2}+y=1 \]

配方：

\[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2} \]

故投影柱面是圆柱面 \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}\)，投影曲线为

\[ \begin{cases}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}\\ z=0\end{cases} \]

（自查：配方左边展开为 \(x^{2}+y^{2}+x+y+\frac{1}{2}\)，等于 \(\frac{3}{2}\) 即 \(x^{2}+y^{2}+x+y=1\)，与消元结果一致。）

\(C\) 是旋转抛物面被平面所截的交线：平面斜截抛物面，\(C\) 是一条椭圆。

易错：别把投影曲线写成 \(\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac32\) 就完事——投影曲线必须落在 \(xOy\) 面上，要补 \(z=0\)。

① 求两曲面的交线：把 \(x^{2}+y^{2}=3z\) 代入球面方程：

\[ 3z+z^{2}=4\ \Rightarrow\ z^{2}+3z-4=0\ \Rightarrow\ (z+4)(z-1)=0 \]

由 \(x^{2}+y^{2}=3z\ge 0\) 知 \(z\ge 0\)，取 \(z=1\)（舍 \(z=-4\)）。交线为 \(\begin{cases}x^{2}+y^{2}=3\\ z=1\end{cases}\)。

② 确定投影区域：交线在 \(xOy\) 面上的投影为圆 \(x^{2}+y^{2}=3,\ z=0\)。立体在圆内部还是外部？取圆内一点（如 \(x^{2}+y^{2}=1\)）竖直向上：抛物面上 \(z=\frac{1}{3}\)，球面上 \(z=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)，两点都存在且球面在上，说明立体覆盖圆内区域。故投影区域为

\[ D=\big\{(x,y)\ \big|\ x^{2}+y^{2}\le 3\big\}\qquad(z=0) \]

套路总结：「围成立体 → 交线投影 → 判内外」。判内外最保险的办法：在投影圆内任取一点，竖直射线与两曲面交点的上下关系要符合立体结构。第 6 章把曲面积分化为二重积分时，积分区域正是这里的 \(D\)。