第 2 章　一元函数微分学

把增量配成定义形式：

\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0)-f(x_0-2h)}{h}=2\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0-2h)-f(x_0)}{-2h}=2f'(x_0) \]

由 \(2f'(x_0)=4\) 得 \(f'(x_0)=2\)。

易错：分母是 \(h\) 而分子增量是 \(-2h\)，凑定义时要同除同乘，系数与符号一起核对。

连续性：\(|f(x)|\le x^2\to 0=f(0)\)，故连续。

可导性（用定义）：

\[ f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{x}-0}{x}=\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0 \]

（有界量乘无穷小），故可导且 \(f'(0)=0\)。

导函数的连续性：当 \(x\neq 0\) 时用公式求导： \[ f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^{2}\cos\frac{1}{x}\cdot\Big(-\frac{1}{x^{2}}\Big)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} \] 当 \(x\to 0\) 时 \(2x\sin\frac{1}{x}\to 0\)，但 \(\cos\frac{1}{x}\) 振荡无极限，故 \(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)\) 不存在，\(f'\) 在 \(x=0\) 处不连续。

结论：可导推不出「导函数连续」。此题同时说明：分段点处不能用公式法求导，只能用定义；公式法只适用于分段点之外。

连续：\(f(0)=\ln 1=0\)；左极限 \(\lim\limits_{x\to 0^-}(ax+b)=b\)，故需 \(b=0\)。

可导（分左右）：

\[ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{ax+b-0}{x}=a,\qquad f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)-0}{x}=1 \]

（已用 \(b=0\)）。可导需两者相等，故 \(a=1\)。

综上 \(a=1,\ b=0\)。此时恰好 \(f(x)=\begin{cases}x, & x\lt 0,\\ \ln(1+x), & x\ge 0,\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处 \(f'_\pm(0)=1\)。

套路总结：待定参数型「连续 + 可导」先由连续定一个参数，再由左右导数相等定另一个，顺序不要乱。

先定起点：\(x=0\) 时 \(e^{y}=e\)，得 \(y=1\)。

方程两边对 \(x\) 求导（\(y\) 是 \(x\) 的函数）：

\[ e^{y}\,y' + y + x\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-\frac{y}{e^{y}+x} \]

代入 \((x,y)=(0,1)\)：\(y'(0)=-\dfrac{1}{e+0}=-\dfrac{1}{e}\)。

易错：直接把 \(x=0\) 代入原方程之前先求导，顺序颠倒会做繁甚至做错；求 \(xy\) 的导数时漏掉 \(y\) 或 \(y'\) 项。

幂指函数，取对数：\(\ln y=\sin x\ln x\)。两边对 \(x\) 求导：

\[ \frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \]

故 \[ y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right) \]

套路总结：幂指函数两种处理——对数求导法，或恒等变形 \(u^{v}=e^{v\ln u}\) 后用链式法则，两者本质相同。切忌把底数、指数分别求导再相乘。

\(x'(t)=1-\cos t\)，\(y'(t)=\sin t\)，故

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^{2}\frac{t}{2}}=\cot\frac{t}{2} \]

二阶导：先把一阶导对 \(t\) 求导，再除以 \(x'(t)\)：

\[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\cot\frac{t}{2}}{1-\cos t}=\frac{-\dfrac{1}{2}\csc^{2}\frac{t}{2}}{2\sin^{2}\frac{t}{2}}=-\frac{1}{4\sin^{4}\frac{t}{2}} \]

（用了 \(1-\cos t=2\sin^{2}\dfrac{t}{2}\)，\(\csc^{2}\frac{t}{2}\cdot\sin^{2}\frac{t}{2}=1\)。）最后一步除以 \(x'(t)\) 不能少。

先化简（积化和差）：由 \(\sin 2x\sin 3x=\dfrac{\cos x-\cos 5x}{2}\)，

\[ y=\frac{1}{2}\sin x(\cos x-\cos 5x)=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2x}{2}-\frac{\sin 6x-\sin(-4x)}{2}\right]=\frac{1}{4}\left(\sin 2x+\sin 4x-\sin 6x\right) \]

逐项用公式 \((\sin ax)^{(n)}=a^{n}\sin\!\left(ax+\dfrac{n\pi}{2}\right)\)：

\[ y^{(n)}=\frac{1}{4}\left[2^{n}\sin\!\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)+4^{n}\sin\!\left(4x+\frac{n\pi}{2}\right)-6^{n}\sin\!\left(6x+\frac{n\pi}{2}\right)\right] \]

套路总结：三角函数乘积的 \(n\) 阶导，第一步永远是积化和差化成单个正弦之和；有理函数则先拆部分分式。

结论即 \([x f(x)]'\Big|_{x=\xi}=0\)。构造 \(F(x)=x f(x)\)。

\(F\) 在 \([0,1]\) 连续、\((0,1)\) 可导，且 \(F(0)=0\cdot f(0)=0\)，\(F(1)=1\cdot f(1)=0\)。

由罗尔定理，存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0\)。证毕。

套路总结：见 \(\xi f'(\xi)+f(\xi)\) 立即写 \(F=x f(x)\)；本题还隐含「\(f(0)\) 不必知」——因子 \(x\) 自动保证 \(F(0)=0\)。

当 \(a=b\) 时显然。当 \(a\neq b\) 时，\(f(x)=\sin x\) 在以 \(a,b\) 为端点的闭区间上连续、开区间内可导，由拉格朗日中值定理：

\[ \sin a-\sin b=\cos\xi\cdot(a-b),\qquad \xi\ \text{介于}\ a,b\ \text{之间} \]

由 \(|\cos\xi|\le 1\) 立得 \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\)。证毕。

套路总结：只要不等式两边之差能看成「函数增量」，就可用拉格朗日放缩 \(f'(\xi)\)。同法可证 \(|\arctan a-\arctan b|\le|a-b|\)、\(x\ge 1\) 时 \(e^{x}\ge ex\) 等。

(1) 令 \(g(x)=f(x)+x-1\)，则 \(g\in C[0,1]\)，\(g(0)=-1\lt 0\)，\(g(1)=1\gt 0\)。由零点定理，存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(g(\xi)=0\)，即 \(f(\xi)=1-\xi\)。

(2) 在 \([0,\xi]\) 与 \([\xi,1]\) 上分别用拉格朗日：

\[ f'(\eta)=\frac{f(\xi)-f(0)}{\xi-0}=\frac{1-\xi}{\xi},\qquad f'(\zeta)=\frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\frac{1-(1-\xi)}{1-\xi}=\frac{\xi}{1-\xi} \]

其中 \(\eta\in(0,\xi),\ \zeta\in(\xi,1)\)，两点不同。相乘即得 \(f'(\eta)f'(\zeta)=1\)。证毕。

易错：\(\eta\) 与 \(\zeta\) 必须落在两个不同子区间才能保证「不同」，区间端点取值要代对。

设最小值点为 \(c\in(0,1)\)，则 \(f(c)=-1\) 且由费马引理 \(f'(c)=0\)。

在 \(c\) 处展开（拉格朗日余项）：

\[ f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(\zeta)}{2}(x-c)^{2}=-1+\frac{f''(\zeta)}{2}(x-c)^{2} \]

其中 \(\zeta\) 介于 \(c\) 与 \(x\) 之间。分别代 \(x=0\) 与 \(x=1\)：

\[ 0=f(0)=-1+\frac{f''(\zeta_1)}{2}c^{2}\ \Rightarrow\ f''(\zeta_1)=\frac{2}{c^{2}}\qquad(\zeta_1\ \text{介于}\ 0,c\ \text{之间}) \]

\[ 0=f(1)=-1+\frac{f''(\zeta_2)}{2}(1-c)^{2}\ \Rightarrow\ f''(\zeta_2)=\frac{2}{(1-c)^{2}}\qquad(\zeta_2\ \text{介于}\ c,1\ \text{之间}) \]

若 \(c\le\dfrac{1}{2}\)，则 \(c^{2}\le\dfrac{1}{4}\)，故 \(f''(\zeta_1)=\dfrac{2}{c^{2}}\ge 8\)；若 \(c\gt\dfrac{1}{2}\)，则 \(1-c\lt\dfrac{1}{2}\)，故 \(f''(\zeta_2)\gt 8\)。取该点为 \(\xi\) 即证。

套路总结：结论含 \(f''\) 与常数 → 在极值点展开（利用 \(f'(c)=0\) 消掉一阶项），再代端点。常数 8 正来自 \(c(1-c)\le\frac14\) 的放缩。

垂直渐近线：\(x\to 1\) 时分母趋于 0 而分子趋于 2，\(\lim\limits_{x\to 1}y=\infty\)，故 \(x=1\)。

水平渐近线：\(x\to\infty\) 时 \(y\to\infty\)，没有。

斜渐近线：作多项式除法 \(x^{2}+1=(x-1)(x+1)+2\)，即 \[ y=x+1+\frac{2}{x-1} \] 当 \(x\to\infty\) 时余项 \(\to 0\)，故斜渐近线为 \(y=x+1\)。

综上共两条：\(x=1\) 与 \(y=x+1\)。

套路总结：有理函数的斜渐近线优先做多项式除法，一次到位；\(k=\lim\frac{y}{x}=1\)，\(b=\lim(y-x)=1\) 验证一致。

\(f'(x)=6x^{2}-18x+12=6(x-1)(x-2)\)，驻点 \(x=1,\ 2\)。

\(f'\) 在 \((-\infty,1)\) 为正、\((1,2)\) 为负、\((2,+\infty)\) 为正，故：单增区间 \((-\infty,1]\)、\([2,+\infty)\)，单减区间 \([1,2]\)。

\(f(1)=2-9+12-1=4\) 为极大值；\(f(2)=16-36+24-1=3\) 为极小值。

（二阶验证：\(f''=12x-18\)，\(f''(1)=-6\lt 0\) 极大，\(f''(2)=6\gt 0\) 极小，一致。）

拐点：\(f''(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)，且 \(f''\) 在其两侧变号，拐点为 \(\left(\dfrac{3}{2},\ f\!\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)=\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{7}{2}\right)\)（计算：\(2\cdot\frac{27}{8}-9\cdot\frac{9}{4}+18-1=\frac{27}{4}-\frac{81}{4}+17=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\)）。

设圆柱高为 \(h\)，底半径 \(r\)。轴截面中 \(r^{2}+\Big(\dfrac{h}{2}\Big)^{2}=R^{2}\)，即 \(r^{2}=R^{2}-\dfrac{h^{2}}{4}\)（\(0\lt h\lt 2R\)）。

\[ V(h)=\pi r^{2}h=\pi\Big(R^{2}h-\frac{h^{3}}{4}\Big),\qquad V'(h)=\pi\Big(R^{2}-\frac{3h^{2}}{4}\Big) \]

令 \(V'(h)=0\) 得 \(h=\dfrac{2R}{\sqrt 3}\)（唯一驻点）。\(V'\) 左正右负，故为最大值点。此时 \(r^{2}=R^{2}-\dfrac{R^{2}}{3}=\dfrac{2R^{2}}{3}\)，

\[ V_{\max}=\pi\cdot\frac{2R^{2}}{3}\cdot\frac{2R}{\sqrt 3}=\frac{4\sqrt 3}{9}\pi R^{3} \]

套路总结：应用题「设变量—列目标函数（用条件消元成一元）—求导找驻点—按实际意义定性」。唯一驻点即最值点。

\(y'=2x-2\)，\(y''=2\)，故 \[ K(x)=\frac{2}{\left[1+(2x-2)^{2}\right]^{3/2}} \]

分母在 \(2x-2=0\) 即 \(x=1\) 处取最小值 1，故曲率在顶点 \((1,2)\) 处最大：\(K_{\max}=2\)，曲率半径 \(R=\dfrac{1}{2}\)。

（验证 \(y(1)=1-2+3=2\)。）易错：分子是 \(|y''|\)，本题为正不用管；若曲线用参数式，要先化为 \(y(x)\) 或用参数形式曲率公式。

令 \(f(x)=\ln x-kx\ (x\gt 0)\)，\(f'(x)=\dfrac{1}{x}-k\)。

情形一 \(k\le 0\)：\(f'(x)=\dfrac{1}{x}-k\gt 0\)，\(f\) 严格单增。\(x\to 0^{+}\) 时 \(f\to-\infty\)；\(x\to+\infty\) 时 \(f\to+\infty\)（\(-kx\ge 0\) 且 \(\ln x\to+\infty\)）。恰有 1 个实根。

情形二 \(k\gt 0\)：\(f'(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{k}\)，且 \(f'\) 左正右负，\(x=\dfrac{1}{k}\) 是唯一极大（最大）值点：

\[ f\!\left(\frac{1}{k}\right)=-\ln k-1 \]

• 最大值 \(=-\ln k-1\lt 0\)，即 \(k\gt e^{-1}\)：\(f\) 恒负，无实根；
• 最大值 \(=0\)，即 \(k=e^{-1}\)：恰在 \(x=e\) 处 \(f=0\)，1 个实根；
• 最大值 \(\gt 0\)，即 \(0\lt k\lt e^{-1}\)：在 \(\big(0,\frac{1}{k}\big)\) 内 \(f\) 由 \(-\infty\) 单调升到正值有一个根，在 \(\big(\frac{1}{k},+\infty\big)\) 内由正值单调降到 \(-\infty\)（\(k\gt0\) 时 \(f\to-\infty\)）有一个根，共 2 个实根。

套路总结：含参数方程根个数 = 「极大（小）值正负分类 + 每个单调区间端点极限」。三条结论务必配合草图记忆。

右边：令 \(g(x)=x-\ln(1+x)\)，\(g(0)=0\)，

\[ g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\gt 0\quad(x\gt 0) \]

故 \(g(x)\gt g(0)=0\)，即 \(\ln(1+x)\lt x\)。

左边：令 \(h(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}\)，\(h(0)=0\)，

\[ h'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\frac{x^{2}}{1+x}\gt 0\quad(x\gt 0) \]

故 \(h(x)\gt 0\)，即 \(x-\dfrac{x^{2}}{2}\lt\ln(1+x)\)。证毕。

易错：构造函数必须验证端点值（这里是 \(g(0)=h(0)=0\)），单调性 + 零端点才能得出严格不等式，两步缺一不可。

设 \(f(x)=\sin x\)，在 \(\big[0,\frac{\pi}{2}\big]\) 上 \(f''(x)=-\sin x\lt 0\)（内部），故 \(f\) 是凸函数，其图像在连接端点 \(A(0,0)\)、\(B\big(\frac{\pi}{2},1\big)\) 的弦的上方。

弦的方程：\(y=\dfrac{2}{\pi}x\)。凸性保证内部点处曲线严格高于弦：

\[ \sin x\gt\frac{2}{\pi}x,\qquad 0\lt x\lt\frac{\pi}{2} \]

（严谨写法：对凸函数，任意 \(x=\lambda\cdot 0+(1-\lambda)\cdot\frac{\pi}{2}\)（\(0\lt\lambda\lt 1\)）有 \(f(x)\gt\lambda f(0)+(1-\lambda)f\big(\frac{\pi}{2}\big)=\frac{2}{\pi}x\)。）

套路总结：「弦」型不等式找凹凸。Jordan 不等式在第三章证积分不等式、估计积分值时还会反复出场。

令 \(g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x}{2+x}\)，\(g(0)=0\)。

\[ g'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2(2+x)-2x}{(2+x)^{2}}=\frac{1}{1+x}-\frac{4}{(2+x)^{2}}=\frac{(2+x)^{2}-4(1+x)}{(1+x)(2+x)^{2}}=\frac{x^{2}}{(1+x)(2+x)^{2}} \]

当 \(x\gt 0\) 时 \(g'(x)\gt 0\)，\(g\) 严格单增，故 \(g(x)\gt g(0)=0\)。证毕。

套路总结：分式不等式不必通分到底——对差求导时分子常常自动出现平方项（本题 \(x^{2}\)），符号一目了然。

设气球高度 \(h\)（m），仰角 \(\theta\)，则 \(\tan\theta=\dfrac{h}{500}\)。两边对时间 \(t\) 求导：

\[ \sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{500}\frac{dh}{dt} \]

当 \(h=500\) 时 \(\tan\theta=1\)，\(\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=2\)，\(\dfrac{dh}{dt}=140\)，故

\[ \frac{d\theta}{dt}=\frac{140}{500\times 2}=0.14\ \text{rad/min} \]

套路总结：相关变化率三步——「列几何/物理关系式 → 两边对时间求导 → 代入已知瞬时值」。导数是速率的桥梁。