第 1 章　函数、极限、连续

(1) 奇函数；(2) \(f(x)=x^3-x\)，奇函数；(3) 非奇非偶——定义域 \([1,+\infty)\) 不关于原点对称（这是陷阱，判断奇偶性先看定义域！）。

由 \(e^y=x+\sqrt{x^2-1}\) 得 \(\dfrac{1}{e^y}=x-\sqrt{x^2-1}\)，两式相加：\(x=\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\)。

故反函数为 \(y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)（即双曲余弦 \(\operatorname{ch} x\)），\(x\ge 0\)（原函数值域为 \([0,+\infty)\)）。

需 \(4-(\ln x)^2\ge 0\)，即 \(|\ln x|\le 2\)，即 \(-2\le \ln x\le 2\)，所以 \(x\in[e^{-2},\ e^{2}]\)。

(1) 成立。由保号性，\(\frac{f(x)}{x}\to 2\gt 0\)，故在去心邻域内 \(\frac{f(x)}{x}\gt 1\gt 0\)，即 \(f(x)\) 与 \(x\) 同号：\(x\gt 0\) 时 \(f(x)\gt 0\)，\(x\lt 0\) 时 \(f(x)\lt 0\)。注意：并不能说整个邻域内恒正！
(2) 有界。因为 \(\frac{f(x)}{x}\) 极限存在，故局部有界：\(\left|\frac{f(x)}{x}\right|\le M\)，即 \(|f(x)|\le M|x|\)，在去心邻域内 \(|x|\) 小，故 \(f\) 局部有界。

否定定义：\(\exists \varepsilon_0\gt 0\)，\(\forall N\in\mathbb{N}^+\)，\(\exists n\gt N\)，使 \(|x_n-a|\ge \varepsilon_0\)。
理解定义的否定形式是选择题常设的陷阱，建议动手写一遍。

分子有理化：\(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\sim x\)（分母 \(\to 2\)）。故是 \(x\) 的一阶（同阶）无穷小，实为等价无穷小。

\(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\)，故 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^k}=\dfrac{1}{2}\lim\dfrac{x^2}{x^k}\)，当且仅当 \(k=2\) 时极限为 \(\dfrac{1}{2}\neq 0\)。

泰勒：\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，分子 \(=\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)，极限 \(=\dfrac{1}{2}\)。（洛必达两次亦可。）

\(\alpha=x^2\)，\(\beta=\dfrac{1}{1-\cos x}\sim\dfrac{2}{x^2}\)，\(\alpha\beta\to 2\)，极限 \(=e^{2}\)。

先求函数极限：\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^{x}-1}{x}\)，令 \(t=a^x-1\to 0\)，\(x=\ln(1+t)/\ln a\)，原式 \(=\lim\dfrac{t\ln a}{\ln(1+t)}=\ln a\)。由归结原则，数列极限 \(=\ln a\)。

此时分母 \(n^2+k\) 无法配成 \(1+(\frac{k}{n})^2\) 结构，用夹逼：

\[ \frac{n^2}{n^2+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\le\frac{n^2}{n^2+1} \]

左右两边都趋于 1，故极限为 1。（与例 13 对比记忆：能凑 \(\frac{k}{n}\) 用定积分定义，凑不出用夹逼。）

此数列不单调（在极限附近振荡），不能用单调有界。改证「压缩」或先求不动点再夹逼：设极限为 \(A\)，则 \(A=1+\frac{1}{A}\)，解得 \(A=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\)（舍负根）。证明收敛可用：\(x_{n+1}-A=\left(1+\frac{1}{x_n}\right)-\left(1+\frac{1}{A}\right)=\frac{A-x_n}{x_n A}\)，即 \(|x_{n+1}-A|=\dfrac{|x_n-A|}{x_n A}\)。又易证 \(1\le x_n\le 2\)（归纳：\(x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}\in\left[\frac{3}{2},\,2\right]\)），故 \(x_n A\ge 1\cdot A\gt 1\)，得压缩系数 \(q=\dfrac{1}{A}=\dfrac{2}{1+\sqrt5}\lt 1\)，从而 \(|x_{n+1}-A|\le q^{\,n-1}|x_1-A|\to 0\)。故收敛且 \(\lim x_n=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}\)。
（数一近年偏爱这种「不单调递推数列」，用压缩映射/夹逼思想处理。）

可疑点：\(x=0\)（分子分母同时为 0）与 \(x=\pm\frac{\pi}{2}\)（\(\tan\) 无定义）。

• \(x=0\)：\(\lim\dfrac{x}{\tan x}=1\)，极限存在，可去间断点；
• \(x=\pm\frac{\pi}{2}\)：\(\tan x\to\infty\)，\(f\to 0\)，极限存在，可去间断点。

本区间内没有无穷/跳跃间断点。（若区间扩大到含 \(k\pi\)，则 \(x=k\pi\ (k\neq0)\) 为无穷间断点。）

可疑点 \(x=0,\ \pm 1\)。分子分母因式分解 \(=\dfrac{x(x-1)}{|x|(x-1)(x+1)}\)。

• \(x=0\)：\(x\to 0^-\) 时 \(=\dfrac{x(x-1)}{-x(x-1)(x+1)}=-\dfrac{1}{x+1}\to-1\)；\(x\to 0^+\) 时 \(\to+1\)。左右存在不等，跳跃间断点；
• \(x=1\)：\(\lim\limits_{x\to 1}f=\lim\dfrac{x}{|x|(x+1)}=\dfrac{1}{2}\)，极限存在，可去间断点；
• \(x=-1\)：分母趋于 0 而分子不趋于 0，无穷间断点（第二类）。

可疑点 \(x=1\)（指数分母为 0）与使 \(1-e^{\frac{x}{x-1}}=0\) 的点，即 \(\frac{x}{x-1}=0\Rightarrow x=0\)。

• \(x=1\)：\(x\to 1^-\)，\(\frac{x}{x-1}\to-\infty\)，\(e^{\frac{x}{x-1}}\to 0\)，\(f\to 1\)；\(x\to 1^+\)，\(\frac{x}{x-1}\to+\infty\)，\(e^{\frac{x}{x-1}}\to+\infty\)，\(f\to 0\)。左右极限存在但不等，跳跃间断点；
• \(x=0\)：\(e^{\frac{x}{x-1}}\to e^0=1\)，分母 \(\to 0\)，\(f\to\infty\)，无穷间断点。

记 \(M,\ m\) 为 \(f\) 在 \([x_1,x_3]\) 上的最大、最小值（最值定理），则 \(m\le f(x_i)\le M\)（\(i=1,2,3\)），相加除以 3：\(m\le\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}\le M\)。由介值定理，该平均值必被 \(f\) 在 \([x_1,x_3]\) 上某点 \(\xi\) 取到。证毕。

令 \(F(x)=f(x+a)-f(x)\)，\(x\in[0,a]\)，连续。

\(F(0)=f(a)-f(0)\)，\(F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)=-F(0)\)。

若 \(F(0)=0\) 取 \(\xi=0\)；否则 \(F(0)\) 与 \(F(a)\) 异号，由零点定理存在 \(\xi\in(0,a)\) 使 \(F(\xi)=0\)，即 \(f(\xi)=f(\xi+a)\)。（这是例 19 中 \(n=2\)、区间平移的情形，务必独立写一遍完整证明。）

A。\(f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))\)。（同理可记：\(g(f(x))\) 也是偶，\(g(g(x))\) 是奇。）

B。\(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)，\(\ln(1+x^2)\sim x^2\)，乘积 \(\sim\frac{x^4}{2}\)。

D 错误。极限与 \(f(0)\) 无关（去心邻域），\(f\) 在 0 处可以无定义或任意取值。A、B、C 都由极限式直接推出（C 即 \(\lim\frac{f(x)-x}{x}=0\)，由 \(\lim\frac{f}{x}=1\) 得）。

A。无界嫌疑点是 \(x=0,\ 1,\ 2\)，四个选项的区间内部都不含这三点，故只需逐一检查各区间端点的单侧极限是否有限：

• \(x\to 1\)：分子 \(\to\sin(-1)\neq 0\) 而分母 \(\to 0\)，\(f\to\infty\)，故 B、C 无界；
• \(x\to 2\)：分子 \(|x|\sin(x-2)\sim 2(x-2)\)，分母 \(\sim 2\cdot(x-2)^{2}\)，\(f\sim\dfrac{1}{x-2}\to\infty\)，故 D 无界；
• \(x\to 0\)：\(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\cdot\dfrac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^{2}}\)，其中 \(\dfrac{|x|}{x}=\pm 1\)，第二个因子 \(\to\dfrac{\sin(-2)}{(-1)\cdot 4}\) 有限，故两个单侧极限都存在有限；\(x\to-1^{+}\) 时 \(f\) 连续、极限有限。故 A 有界。

（判断开区间上有界的充分条件：两端点的单侧极限均存在且有限。）

\(\dfrac{1}{3}\)。\(e^{\sin x}-1\sim\sin x\sim x\)，\(\ln(1+3x)\sim 3x\)。

\(e^{3}\)。底数 \(=1+\dfrac{3}{x-1}\)，\(\alpha\beta=\dfrac{3x}{x-1}\to 3\)。

极限存在而分母 \(\to 0\)，故分子 \(\to 0\)：\(1+a+b=0\)。洛必达：\(\lim(2x+a)=2+a=3\Rightarrow a=1\)，代回得 \(b=-2\)。

标准答案（泰勒）：这是 \(1^{\infty}\) 型（\(\frac{(1+x)^{1/x}}{e}\to\frac{e}{e}=1\)）。

\[ \text{原式}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\left[\frac{1}{x}\ln(1+x)-1\right]} \]

展开 \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)：\(\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1-\dfrac{x}{2}+o(x)\)，于是方括号 \(=-\dfrac{x}{2}+o(x)\)，指数极限 \(=-\dfrac{1}{2}\)。

故原极限 \(=e^{-\frac{1}{2}}\)。

（对照例 7：\((1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\,1-\frac{x}{2}+o(x)}=e\cdot e^{-\frac{x}{2}+o(x)}\)，故底数相对 \(e\) 的偏差约为 \(-\frac{x}{2}\)；而 \(\cos x-1\sim-\frac{x^{2}}{2}\)。两者在各自的指数 \(\frac{1}{x}\) 与 \(\frac{1}{x^{2}}\) 下都恰好产生 \(-\frac{1}{2}\)，殊途同归于 \(e^{-\frac{1}{2}}\)。）

（3）先看不动点：\(A=1+\dfrac{1}{1+A}\Rightarrow(A-1)(A+1)=1\Rightarrow A^{2}=2\Rightarrow A=\sqrt2\)（舍负根）。

(1) 归纳：\(x_1=1\in[1,2)\)；设 \(1\le x_n\lt 2\)，则 \(1+x_n\in[2,3)\)，\(\frac{1}{3}\lt\frac{1}{1+x_n}\le\frac{1}{2}\)，故 \(x_{n+1}\in\left(\frac{4}{3},\ \frac{3}{2}\right]\subset[1,2)\)，结论成立。

(2) 该数列不单调（奇、偶子列分别单调趋于同一极限），不宜用单调有界，改用压缩：

\[ |x_{n+1}-A|=\left|\frac{1}{1+x_n}-\frac{1}{1+A}\right|=\frac{|A-x_n|}{(1+x_n)(1+A)}\le\frac{1}{2\cdot(1+\sqrt2)}\,|x_n-A|=q\,|x_n-A| \]

（用了 \(1+x_n\ge 2\)；压缩系数 \(q=\dfrac{1}{2(1+\sqrt2)}\lt 1\)。）于是 \(|x_{n+1}-A|\le q^{\,n-1}|x_1-A|\to 0\)，\(\{x_n\}\) 收敛且 \(\lim x_n=A=\sqrt2\)。

分四种情形：

• \(|x|\lt 1\)：\(x^{2n}\to 0,\ x^{2n-1}\to 0\)，\(f(x)=x^2+x\)；
• \(x\gt 1\)：同除 \(x^{2n}\)，\(f(x)=\dfrac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2n-2}}+\frac{1}{x^{2n-1}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}\to\dfrac{1}{x}\)；
• \(x\lt -1\)：同理 \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)；
• \(x=\pm 1\)：\(f(1)=\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}\)，\(f(-1)=\dfrac{-1+1-1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}\)。

连续性：\(x=1\) 处左极限 \(=2\)，右极限 \(=1\)，\(f(1)=\frac32\)：跳跃间断（第一类）；
\(x=-1\) 处左极限 \(=-1\)，右极限 \(=0\)，\(f(-1)=-\frac12\)：跳跃间断（第一类）。其余点均连续。