第 6 章 二次型
本章地位：线代收官章，也是第 5 章正交对角化的「直接客户」。大题套路高度固定：「写矩阵 → 正交变换化标准形（系数恰为特征值）→ 判正定（含参数讨论）」；小题则考合同与惯性指数、正定的充要/必要条件。核心心法：二次型 ⟺ 对称矩阵；化标准形 ⟺ 找合同变换；正交变换法 = 第 5 章正交对角化换皮。
6.1 二次型及其矩阵
写出 \(f=2x_1^{2}+5x_2^{2}+5x_3^{2}+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3\) 的矩阵 \(A\) 并求 \(r(f)\)；再求 \(g=x^{T}Bx\) 对应的二次型，其中 \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)。
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\[ A=\begin{pmatrix} 2&2&-2\\ 2&5&-4\\ -2&-4&5 \end{pmatrix}\qquad(\text{交叉项系数减半，对称放置}) \]
\(A\) 正是第 5 章例 9 的实对称矩阵，特征值 \(1,\ 1,\ 10\) 全非零，故 \(r(f)=r(A)=3\)。
\[ g=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=2x_1x_2 \]
6.1.1 合同变换
易错 合同 \(\not\Rightarrow\) 相似：\(C^{T}AC\) 中 \(C^{T}\ne C^{-1}\)（一般）。只有正交变换（\(Q^{T}=Q^{-1}\)）才「既合同又相似」。
写出 \(f=x^{2}+3y^{2}+9z^{2}-2xy+2yz\) 的矩阵 \(A\)。
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\[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ -1&3&1\\ 0&1&9 \end{pmatrix}\qquad(-2xy\to a_{12}=a_{21}=-1,\ 2yz\to a_{23}=a_{32}=1) \]
写出 \(f=x_1x_2+x_2x_3\) 的矩阵并求 \(f\) 的秩。
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\[ A=\begin{pmatrix} 0&\tfrac12&0\\ \tfrac12&0&\tfrac12\\ 0&\tfrac12&0 \end{pmatrix} \]
第 1、3 行相同，第 2 行不成比例，\(r(A)=2\)，故 \(r(f)=2\)（虽是 3 元二次型，秩只有 2）。
6.2 化二次型为标准形
① 正交变换法：题目指定「用正交变换」时必须用它，标准形系数恰为特征值（几何上保持长度与角度）；
② 配方法：题目指定「用配方法」或只要求「可逆线性变换」时用，计算量小，但系数一般不是特征值。
6.2.1 正交变换法
用正交变换化二次型 \(f=2x_1^{2}+5x_2^{2}+5x_3^{2}+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3\) 为标准形，并写出所用正交变换。
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① 矩阵：\(A=\begin{pmatrix} 2&2&-2\\ 2&5&-4\\ -2&-4&5 \end{pmatrix}\)（例 1）。
② 特征值（第 5 章例 9 已算）：\(|A-\lambda E|=-(\lambda-1)^2(\lambda-10)\)，\(\lambda_1=\lambda_2=1\)，\(\lambda_3=10\)。
③ 特征向量 + 施密特：\(\lambda=1\)：\(x_1+2x_2-2x_3=0\)，取 \(\xi_1=(-2,1,0)^{T}\)，\(\xi_2=(2,0,1)^{T}\)，施密特得 \(\beta_1=(-2,1,0)^{T}\)，\(\beta_2\propto(2,4,5)^{T}\)；\(\lambda=10\)：\(\xi_3=(1,2,-2)^{T}\)。
④ 单位化拼 \(Q\)：
\[ Q=\begin{pmatrix} -\tfrac{2}{\sqrt5}&\tfrac{2}{3\sqrt5}&\tfrac13\\ \tfrac{1}{\sqrt5}&\tfrac{4}{3\sqrt5}&\tfrac23\\ 0&\tfrac{5}{3\sqrt5}&-\tfrac23 \end{pmatrix} \]
⑤ 标准形：令 \(x=Qy\)，则
\[ f=y_1^{2}+y_2^{2}+10y_3^{2} \]
（系数 \(1,1,10\) 正是特征值；自检：\(r=3\)、正惯性指数 \(3\)，与 \(A\) 可逆、特征值全正一致。）
6.2.2 配方法
① 含平方项：先集中所有含 \(x_1\) 的项配方，再处理含 \(x_2\) 的项，依次进行；
② 只有交叉项（无平方项）：先作代换 \(x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2\)（其余不变）造出平方项，再回到情形①。
用配方法化 \(f=x_1^{2}+4x_1x_2+2x_2^{2}\) 为标准形，并说明其系数为何不是 \(A\) 的特征值。
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\[ f=(x_1+2x_2)^{2}-4x_2^{2}+2x_2^{2}=(x_1+2x_2)^{2}-2x_2^{2} \]
令 \(y_1=x_1+2x_2,\ y_2=x_2\)（\(C=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) 可逆），得标准形 \(f=y_1^{2}-2y_2^{2}\)。
但 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\) 的特征值为 \(\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)（由 \(|A-\lambda E|=\lambda^{2}-3\lambda-2\)），确实不是 \(1,-2\)——配方法得到的只是合同意义下的标准形（正负惯性指数仍相同：一正一负 ✓），并非相似对角化。只有正交变换的系数才保证等于特征值。
用配方法化 \(f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3\) 为标准形，并写出规范形（见 6.3）。
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① 造平方项：令 \(x_1=y_1+y_2,\ x_2=y_1-y_2,\ x_3=y_3\)：
\[ f=2(y_1^{2}-y_2^{2})+2(y_1+y_2)y_3-6(y_1-y_2)y_3=2y_1^{2}-2y_2^{2}-4y_1y_3+8y_2y_3 \]
② 依次配方：
\[ f=2(y_1-y_3)^{2}-2y_3^{2}-2y_2^{2}+8y_2y_3=2(y_1-y_3)^{2}-2(y_2-2y_3)^{2}+6y_3^{2} \]
令 \(z_1=y_1-y_3,\ z_2=y_2-2y_3,\ z_3=y_3\)（变换可逆），得标准形
\[ f=2z_1^{2}-2z_2^{2}+6z_3^{2}\qquad(p=2,\ q=1,\ r=3) \]
③ 规范形：再令 \(w_1=\sqrt2z_1,\ w_2=\sqrt6z_3,\ w_3=\sqrt2z_2\)：\(f=w_1^{2}+w_2^{2}-w_3^{2}\)。
（数值自检：\(x=(1,1,0)\)：原式 \(=2\)；对应 \(y=(1,0,0)\)，\(z=(1,0,0)\)，\(2z_1^{2}=2\) ✓。\(x=(1,0,1)\)：原式 \(=2\)；\(y=(\tfrac12,\tfrac12,1)\)，\(z=(-\tfrac12,-\tfrac32,1)\)，\(2\cdot\tfrac14-2\cdot\tfrac94+6=0.5-4.5+6=2\) ✓。）
用配方法化 \(f=x_1^{2}+2x_2^{2}+4x_3^{2}+2x_1x_2+2x_1x_3\) 为标准形。
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集中含 \(x_1\) 的项：
\[ f=(x_1+x_2+x_3)^{2}-x_2^{2}-x_3^{2}-2x_2x_3+2x_2^{2}+4x_3^{2}=(x_1+x_2+x_3)^{2}+(x_2-x_3)^{2}+2x_3^{2} \]
令 \(y_1=x_1+x_2+x_3,\ y_2=x_2-x_3,\ y_3=x_3\)（\(C=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(|C|=1\) 可逆）：\(f=y_1^{2}+y_2^{2}+2y_3^{2}\)，\(p=3\)（正定，见 6.4）。
用配方法化 \(f=x_1^{2}-2x_2^{2}+x_3^{2}+2x_1x_3\) 为标准形，并求正、负惯性指数。
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\[ f=(x_1+x_3)^{2}-2x_2^{2} \]
令 \(y_1=x_1+x_3,\ y_2=x_2,\ y_3=x_3\)：\(f=y_1^{2}-2y_2^{2}\)。\(p=1,\ q=1,\ r=2\)（\(y_3\) 是「陪跑」变量，不进标准形）。
6.3 惯性定理与规范形
指出与 \(A=\begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&-3\\ 1&-3&0 \end{pmatrix}\)（例 4 的二次型矩阵）合同的对角阵具有什么特征；它在合同意义下等价于哪个规范形矩阵？
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例 4 已得 \(f=2z_1^{2}-2z_2^{2}+6z_3^{2}\)：\(p=2,\ q=1,\ r=3\)。
故与 \(A\) 合同的对角阵必须秩为 3 且正项 2 个（如 \(\mathrm{diag}(1,1,-1)\)、\(\mathrm{diag}(3,-2,5)\)）；规范形矩阵为
\[ \begin{pmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&-1 \end{pmatrix} \]
（注意 \(A\) 本身不是对角阵也没关系——合同看的是规范形。）
判断 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 各自合同于什么样的对角阵；\(A\) 与 \(B\) 是否合同？
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\(A\)：\(|A-\lambda E|=(1-\lambda)^2-4\Rightarrow\lambda=3,-1\)，\(p=1,q=1\)，合同于 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)；
\(B\)：\(|B-\lambda E|=(2-\lambda)^2-1\Rightarrow\lambda=1,3\)，\(p=2\)，合同于 \(E\)（即 \(B\) 正定）。
两者正惯性指数不同（1 vs 2），故 \(A\) 与 \(B\) 不合同（尽管 \(r\) 都为 2）。
判断 \(\mathrm{diag}(1,1,-1)\) 与 \(\mathrm{diag}(2,-3,5)\) 是否合同；与 \(\mathrm{diag}(1,-1,-1)\) 呢？
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\(\mathrm{diag}(2,-3,5)\)：正项 \(2,5\) 共 2 个，负项 1 个，秩 3——与 \(\mathrm{diag}(1,1,-1)\) 的 \(p=2,q=1,r=3\) 完全一致，合同；
\(\mathrm{diag}(1,-1,-1)\)：\(p=1\ne2\)，不合同。
6.4 正定二次型
① \(A\) 的特征值全大于 0（最常用）；
② \(A\) 的顺序主子式全大于 0（\(\Delta_k=|A\) 左上角 \(k\) 阶子式，\(k=1,\cdots,n\)，数值/含参题首选）；
③ 正惯性指数 \(p=n\)；④ \(A\simeq E\)；⑤ 存在可逆 \(C\) 使 \(A=C^{T}C\)。
必要条件（用于快速排除/验算）：对角元全正、\(|A|>0\)、\(r(A)=n\)。易错 对角元全正、\(|A|>0\) 都不充分：反例 \(\mathrm{diag}(-1,-1)\)，\(|A|=1>0\) 却是负定。
判断 \(f=x_1^{2}+2x_1x_2+2x_2^{2}+4x_2x_3+5x_3^{2}\) 是否正定。
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轨道一（配方法）：
\[ f=(x_1+x_2)^{2}+(x_2+2x_3)^{2}+x_3^{2} \]
（展开验证：\(x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2}+x_2^{2}+4x_2x_3+4x_3^{2}+x_3^{2}\) ✓。）平方和仅在各括号同时为零时为 0，此时 \(x_3=0\Rightarrow x_2=0\Rightarrow x_1=0\)，故 \(x\ne0\) 时 \(f>0\)，正定。
轨道二（顺序主子式）：\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&5\end{pmatrix}\)，
\[ \Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1>0,\qquad \Delta_3=1\times(10-4)-1\times5=1>0 \]
全正，正定 ✓（两法一致）。
\(t\) 取何值时，\(f=x_1^{2}+x_2^{2}+5x_3^{2}+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\) 正定？
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\[ A=\begin{pmatrix} 1&t&-1\\ t&1&2\\ -1&2&5 \end{pmatrix} \]
顺序主子式：
\[ \Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=1-t^{2},\qquad \Delta_3=1\cdot(5-4)-t(5t+2)-(2t+1) \]
\[ \Delta_3=1-5t^{2}-2t-2t-1=-5t^{2}-4t \]
正定 \(\iff\begin{cases} 1-t^{2}>0\\ -5t^{2}-4t>0 \end{cases}\iff\begin{cases} -1\lt t\lt1\\ -\tfrac45\lt t\lt0 \end{cases}\iff -\dfrac45\lt t\lt0\)。
判断 \(f=x^{2}+3y^{2}+9z^{2}-2xy+2yz\) 是否正定。
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即练习 1 的矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&3&1\\0&1&9\end{pmatrix}\)：
\[ \Delta_1=1,\qquad \Delta_2=3-1=2,\qquad \Delta_3=1(27-1)+(-1)(-9)=26-9=17 \]
全大于 0，正定。（展开第三式：\(1\cdot(3\cdot9-1\cdot1)-(-1)\cdot(-1\cdot9-1\cdot0)+0=26-9=17\)。）
\(t\) 取何值时，\(f=x^{2}+2txy+y^{2}\) 正定？
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\(A=\begin{pmatrix}1&t\\t&1\end{pmatrix}\)：\(\Delta_1=1>0\)，\(\Delta_2=1-t^{2}>0\iff-1\lt t\lt1\)，此时正定（\(|t|<1\) 时也可直接配方：\(f=(x+ty)^2+(1-t^2)y^2\) ✓）。
6.5 章末自测（10 题，建议限时 70 分钟）
二次型 \(f=x^{2}+3y^{2}-2xy\) 的矩阵是：
A. \(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&3\end{pmatrix}\) B. \(\begin{pmatrix}1&-2\\-2&3\end{pmatrix}\) C. \(\begin{pmatrix}3&-1\\-1&1\end{pmatrix}\) D. \(\begin{pmatrix}2&-1\\-1&3\end{pmatrix}\)
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交叉项 \(-2xy\) 系数减半放入对称位置：\(a_{12}=a_{21}=-1\)，选 A。（选 B 是把系数原样搬进矩阵的经典错误。）
设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，下列条件中是 \(A\) 正定的必要而非充分条件的是：
A. \(|A|>0\) B. \(A\) 的特征值全大于零 C. \(A\) 与 \(E\) 合同 D. \(A\) 的正惯性指数为 \(n\)
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B、C、D 都是充要条件；\(|A|>0\) 是必要条件（正定 ⟹ 特征值全正 ⟹ 行列式 = 特征值之积 > 0）但不充分：反例 \(\mathrm{diag}(-1,-1,\cdots,-1)\)，\(|A|=(-1)^n\cdot1\)，\(n\) 偶时 \(=1>0\) 却负定。选 A。
二次型 \(f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3\) 的规范形为 。
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例 4 已得标准形 \(2z_1^{2}-2z_2^{2}+6z_3^{2}\)（\(p=2,q=1\)），再缩放：\(f=y_1^{2}+y_2^{2}-y_3^{2}\)。
二次型 \(f=x_1^{2}-2x_2^{2}+3x_3^{2}\) 的正惯性指数为 ，负惯性指数为 。
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已是标准形：正项 \(x_1^{2},x_3^{2}\) 共 2 个，负项 1 个：\(p=2,\ q=1\)。
设 \(f=x_1^{2}+2x_2^{2}+tx_3^{2}+2x_1x_2\)，\(t\) 取何值时 \(f\) 正定？
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\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&t\end{pmatrix}\)：\(\Delta_1=1>0\)，\(\Delta_2=1>0\)，\(\Delta_3=t\cdot1=t\)。正定 \(\iff t>0\)。
用正交变换将 \(f=2x_1^{2}+2x_2^{2}+2x_1x_2\) 化为标准形，并判断 \(f\) 是否正定。
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\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)：\(|A-\lambda E|=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)\)。
\(\lambda=1\)：\(A-E=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\xi_1=(1,-1)^{T}\)；\(\lambda=3\)：\(\xi_2=(1,1)^{T}\)（已正交）。
单位化拼 \(Q\)：
\[ Q=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\\ -\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix},\qquad x=Qy:\quad f=y_1^{2}+3y_2^{2} \]
特征值 \(1,3\) 全大于 0（标准形系数全正），故 \(f\) 正定。
用配方法将 \(f=x_1^{2}+2x_2^{2}+3x_3^{2}+2x_1x_2+4x_2x_3\) 化为标准形，并判断正定性。
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\[ f=(x_1+x_2)^{2}+x_2^{2}+4x_2x_3+3x_3^{2}=(x_1+x_2)^{2}+(x_2+2x_3)^{2}-x_3^{2} \]
令 \(y_1=x_1+x_2,\ y_2=x_2+2x_3,\ y_3=x_3\)（\(C=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(|C|=1\)）：
\[ f=y_1^{2}+y_2^{2}-y_3^{2} \]
负项出现（\(p=2\lt3\)），不正定。（顺序主子式复核：\(\Delta_1=1,\ \Delta_2=1,\ \Delta_3=1(6-4)-1(3)=-1\lt0\)，确实不正定 ✓。）
\(t\) 取何值时，\(f=x_1^{2}+2x_2^{2}+3x_3^{2}+2x_1x_2+2tx_1x_3+2x_2x_3\) 正定？
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\[ A=\begin{pmatrix} 1&1&t\\ 1&2&1\\ t&1&3 \end{pmatrix} \]
\[ \Delta_1=1>0,\qquad \Delta_2=2-1=1>0 \]
\[ \Delta_3=1(6-1)-1(3-t)+t(1-2t)=5-3+t+t-2t^{2}=2+2t-2t^{2} \]
正定 \(\iff 2+2t-2t^{2}>0\iff t^{2}-t-1\lt0\)，解得
\[ \frac{1-\sqrt5}{2}\lt t\lt\frac{1+\sqrt5}{2} \]
（数值自检 \(t=0\)：\(f=x_1^{2}+2x_2^{2}+3x_3^{2}+2x_1x_2+2x_2x_3=(x_1+x_2)^{2}+x_2^{2}+2x_2x_3+3x_3^{2}\)，配方 \((x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+2x_3^2>0\) ✓ 正定，在区间内。）
证明 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 与 \(B=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}\) 合同，并求可逆矩阵 \(C\) 使 \(C^{T}AC=B\)。
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\(A\) 的特征值为 \(3,-1\)（例 6），故 \(A\simeq\mathrm{diag}(3,-1)=B\)（正负惯性指数都相同）。
特征向量：\(\lambda=3\)：\(\xi_1=(1,1)^{T}\)；\(\lambda=-1\)：\(\xi_2=(1,-1)^{T}\)（正交）。单位化后取
\[ C=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\\ \tfrac{1}{\sqrt2}&-\tfrac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\quad(C^{T}=C^{-1}\ \text{为正交阵}) \]
则 \(C^{T}AC=\mathrm{diag}(3,-1)=B\)（列顺序对应特征值顺序）。
证明：\(n\) 阶实对称矩阵 \(A\) 正定的充要条件是存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(C\)，使 \(A=C^{T}C\)。并由此说明正定矩阵行列式大于零。
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充分性：设 \(A=C^{T}C\)，\(C\) 可逆。任取 \(x\ne0\)：
\[ x^{T}Ax=x^{T}C^{T}Cx=(Cx)^{T}(Cx)=\|Cx\|^{2} \]
\(C\) 可逆且 \(x\ne0\Rightarrow Cx\ne0\Rightarrow\|Cx\|^{2}>0\)，故 \(A\) 正定。
必要性：设 \(A\) 正定，则特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) 全大于 0，且存在正交矩阵 \(Q\) 使
\[ Q^{T}AQ=\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \]
记 \(\Lambda^{\frac12}=\mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1},\cdots,\sqrt{\lambda_n})\)，则
\[ A=Q\Lambda Q^{T}=Q\Lambda^{\frac12}\Lambda^{\frac12}Q^{T}=(\Lambda^{\frac12}Q^{T})^{T}(\Lambda^{\frac12}Q^{T}) \]
令 \(C=\Lambda^{\frac12}Q^{T}\)：\(\sqrt{\lambda_i}>0\) 且 \(Q^{T}\) 可逆，故 \(C\) 可逆且 \(A=C^{T}C\)。
推论：\(|A|=|C^{T}C|=|C|^{2}>0\)。
6.6 本章考点总结
| 考点 | 常见题型 | 重要度 |
|---|---|---|
| 写二次型矩阵（交叉项减半） | 选择 / 大题第一步 | ★★★★ |
| 正交变换化标准形（系数 = 特征值） | 必考大题（接第 5 章） | ★★★★★ |
| 配方法化标准形（含无平方项型） | 大题 / 指定方法 | ★★★★ |
| 正定判定（顺序主子式、含参数） | 小题 + 大题末问，几乎每年 | ★★★★★ |
| 惯性定理、规范形、合同判定 | 选择 / 填空 | ★★★★ |
| \(A=C^{T}C\) 型证明 | 冲刺证明题 | ★★★ |
① 本章大题 = 第 5 章「求特征值特征向量 → 施密特正交化 → 拼正交矩阵」的全套复用，两章务必连练；
② 顺序主子式全正用第 1 章行列式计算；正定 ⟹ \(|A|>0\)、\(r(A)=n\) 回扣第 2 章；
③ 概率统计中协方差矩阵、正态分布二次型 (如 \(\chi^2\) 变量) 的正定性也依赖本章。