第 5 章　矩阵的特征值与特征向量

\[ |A-\lambda E|=\begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\ 1&2-\lambda \end{vmatrix}=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3) \]

\(\lambda_1=1\)：\(A-E=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Rightarrow x_1+x_2=0\)，特征向量 \(k_1(1,-1)^{T}\ (k_1\ne0)\)；（验算 \(A(1,-1)^{T}=(1,-1)^{T}\) ✓）

\(\lambda_2=3\)：\(A-3E=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow x_1=x_2\)，特征向量 \(k_2(1,1)^{T}\ (k_2\ne0)\)。（验算 \(A(1,1)^{T}=(3,3)^{T}=3(1,1)^{T}\) ✓）

按第 3 列展开：

\[ |A-\lambda E|=\begin{vmatrix} 4-\lambda&6&0\\ -3&-5-\lambda&0\\ -3&-6&1-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)\begin{vmatrix} 4-\lambda&6\\ -3&-5-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda-2) \]

\(=(1-\lambda)(\lambda+2)(\lambda-1)=-(\lambda-1)^2(\lambda+2)\)。

\(\lambda_1=\lambda_2=1\)（二重）：\(A-E=\begin{pmatrix}3&6&0\\ -3&-6&0\\ -3&-6&0\end{pmatrix}\Rightarrow x_1+2x_2=0\)，基础解系 \(\xi_1=(-2,1,0)^{T},\ \xi_2=(0,0,1)^{T}\)，特征向量 \(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（不全为零）。（验算 \(A\xi_1=(-2,1,0)^{T}\) ✓）

\(\lambda_3=-2\)：\(A+2E=\begin{pmatrix}6&6&0\\ -3&-3&0\\ -3&-6&3\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x_1+x_2=0\\ -x_1-2x_2+x_3=0 \end{cases}\)，取 \(x_2=1\)：\(x_1=-1,\ x_3=1\)，\(\xi_3=(-1,1,1)^{T}\)。（验算 \(A\xi_3=(2,-2,-2)^{T}=-2\xi_3\) ✓）

共 \(3\) 个线性无关特征向量（二重根恰有 2 个）。

\(\mathrm{tr}(A)=1+2+3=6\)；\(|A|=1\times2\times3=6\)。

\(A+E\) 的特征值 \(2,3,4\)，故 \(|A+E|=2\times3\times4=24\)。

\(A^{*}\) 的特征值 \(\dfrac{|A|}{\lambda}\)：\(\dfrac61,\ \dfrac62,\ \dfrac63\)，即 \(6,3,2\)；\(|A^{*}|=6\times3\times2=36=|A|^{2}\) ✓。

\(A+E\) 的特征值为 \(2,\ 3,\ 0\)——出现 \(0\)，故 \(|A+E|=0\)，\(A+E\) 不可逆。

\(A^{2}\) 的特征值 \(1,\ 4,\ 1\)，\(|A^{2}|=4\)（自检：\(|A|^{2}=(-2)^2=4\) ✓）；

\(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=\dfrac1{1\times2\times(-1)}=-\dfrac12\)。

（1）\(A\) 的特征值为 \(1,2\)（下三角，对角元即特征值），两特征值互异 \(\Rightarrow A\) 可对角化，相似于 \(\mathrm{diag}(1,2)=\Lambda\)。

（2）\(C\) 的特征值为 \(1,1\)，与 \(E\) 相同。但若 \(C\sim E\)，则存在可逆 \(P\) 使 \(P^{-1}CP=E\)，即 \(C=PEP^{-1}=E\)，与 \(C\ne E\) 矛盾。故不相似（同特征值未必相似的经典反例，根源是 \(C\) 不可对角化）。

相似 ⟹ 特征值 \(3,0\) ⟹ \(\mathrm{tr}(A)=1+2=3\) ✓（自动满足），\(|A|=0\)：

\[ |A|=1\times2-2a=2-2a=0\Rightarrow a=1 \]

此时 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}\)，特征值 \(0,3\)（互异必可对角化）：

\(\lambda=3\)：\(A-3E=\begin{pmatrix}-2&2\\1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow x_1=x_2\)，\(\xi_1=(1,1)^{T}\)（验算 \(A\xi_1=(3,3)^{T}\) ✓）；

\(\lambda=0\)：\(Ax=0\Rightarrow x_1+2x_2=0\)，\(\xi_2=(-2,1)^{T}\)（验算 \(A\xi_2=0\) ✓）。

\[ P=(\xi_1,\xi_2)=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}3&0\\0&0\end{pmatrix} \]

例 2 已得：\(\lambda=1\)（二重）有 \(\xi_1=(-2,1,0)^{T},\ \xi_2=(0,0,1)^{T}\) 两个无关特征向量（\(k=2\)，恰好够数）；\(\lambda=-2\)（单根）有 \(\xi_3=(-1,1,1)^{T}\)。

共 3 个线性无关特征向量 = 阶数，可对角化。令

\[ P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix} -2&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix},\qquad \Lambda=\begin{pmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&-2 \end{pmatrix} \]

则 \(AP=P\Lambda\)（逐列验证：\(A\xi_1=\xi_1,\ A\xi_2=\xi_2,\ A\xi_3=-2\xi_3\)），即 \(P^{-1}AP=\Lambda\)。（\(|P|=1\ne0\) ✓。）

\(\lambda=1\) 为二重特征值：

\[ A-E=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad r(A-E)=1 \]

无关特征向量个数 \(=n-r(A-E)=2-1=1\lt2=k\)，不够数，不可对角化。

（判据：对每个特征值都检查 \(n-r(A-\lambda E)\) 是否等于重数；单根永远够数（1 个），只需检查重根。）

① 特征值：按第一行展开（两个 2 阶余子式恰好相同）：

\[ |A-\lambda E|=(2-\lambda)\bigl[(5-\lambda)^2-16\bigr]-2\bigl[2(5-\lambda)-8\bigr]-2\bigl[2(5-\lambda)-8\bigr] \]

\[ =(2-\lambda)(\lambda^2-10\lambda+9)-2(2-2\lambda)-2(2-2\lambda)=(\lambda-1)\bigl[(2-\lambda)(\lambda-9)+8\bigr] \]

\[ =-(\lambda-1)^2(\lambda-10) \]

故 \(\lambda_1=\lambda_2=1\)，\(\lambda_3=10\)。（自检：\(\mathrm{tr}(A)=2+5+5=12=1+1+10\) ✓；\(|A|=1\times1\times10=10\) ✓。）

② \(\lambda=1\)：\(A-E=\begin{pmatrix}1&2&-2\\ 2&4&-4\\ -2&-4&4\end{pmatrix}\Rightarrow x_1+2x_2-2x_3=0\)，取 \(\xi_1=(-2,1,0)^{T},\ \xi_2=(2,0,1)^{T}\)（验算：\(-2+2=0\)、\(2-2=0\) ✓）。

③ 重根内施密特：\(\beta_1=\xi_1=(-2,1,0)^{T}\)；

\[ \beta_2=\xi_2-\frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(2,0,1)^{T}-\frac{-4}{5}(-2,1,0)^{T}=\Bigl(\tfrac25,\ \tfrac45,\ 1\Bigr)^{T}\propto(2,4,5)^{T} \]

（正交性自检：\((-2,1,0)\cdot(2,4,5)=-4+4+0=0\) ✓；仍满足 \(x_1+2x_2-2x_3=0\)：\(2+8-10=0\) ✓。）

④ \(\lambda=10\)：解 \((A-10E)x=0\) 得 \(\xi_3=(1,2,-2)^{T}\)（验算第三行：\(-2-8+10=0\) ✓；且与 \(\beta_1,\beta_2\) 自动正交 ✓）。

⑤ 单位化拼 \(Q\)：

\[ \eta_1=\frac{1}{\sqrt5}(-2,1,0)^{T},\quad \eta_2=\frac{1}{3\sqrt5}(2,4,5)^{T},\quad \eta_3=\frac13(1,2,-2)^{T} \]

\[ Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3),\qquad Q^{T}AQ=\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&10\end{pmatrix} \]

由例 1：\(\lambda=1\)（\(\xi_1=(1,-1)^{T}\)），\(\lambda=3\)（\(\xi_2=(1,1)^{T}\)）：

\[ P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix} \]

\[ A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&3^{n}\\-1&3^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} \]

\[ =\frac12\begin{pmatrix} 1+3^{n}&3^{n}-1\\ 3^{n}-1&1+3^{n} \end{pmatrix} \]

（验算 \(n=1\)：\(\tfrac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) ✓；\(n=2\)：\(\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\)，与直接平方 \(A^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\) 一致 ✓。）

特征值互异，两特征向量无关，可对角化：

\[ A=P\Lambda P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\cdot\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \]

（即例 1 的矩阵，闭环。）