线性代数 · 2027 考研数学一

第 2 章　矩阵

建议用时：概念 4 小时 + 例题练习 6 小时

本章地位：矩阵是线代的「字母表」，后续每一章都在用它。真题中直接命制：解矩阵方程（解答大题常客）、求逆与伴随（小题）、秩的公式与含参讨论（小题+大题第一步）。核心两条线：一是运算规则及其与数的运算的差异（消去律、交换律失效是选择题最爱），二是逆矩阵的求法（初等变换法必须练到零失误）。

2.1　矩阵的运算

2.1.1 加法、数乘与乘法

乘法规则设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(m\times s\) 矩阵，\(B=(b_{ij})\) 为 \(s\times n\) 矩阵，则 \(AB=C=(c_{ij})\) 为 \(m\times n\) 矩阵： \[ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}\quad(\text{左行} \times \text{右列}) \] 可乘条件：左矩阵的列数 = 右矩阵的行数。
矩阵运算八大易错（消去律与交换律失效）

① 一般 \(AB\ne BA\)（甚至 \(BA\) 无意义）；

② \(AB=O\ \nRightarrow\ A=O\) 或 \(B=O\)；

③ \(AB=AC,\ A\ne O\ \nRightarrow\ B=C\)（只有 \(A\) 可逆时才能消去）；

④ \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2\)（除非 \(AB=BA\)）；

⑤ \(A^2-B^2\ne(A-B)(A+B)\)；

⑥ 数乘与取行列式别混：\(|kA|=k^n|A|\)；

⑦ 转置穿脱：\((AB)^T=B^TA^T\)；

⑧ 但「穿墙」恒成立的恒等式：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)、\(|AB|=|A||B|\)、\((AB)^T=B^TA^T\)（顺序反转）、\(r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}\)。

例 1（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，求 \(AB\) 与 \(BA\)。

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\[ AB=\begin{pmatrix}1\times0+2\times1&1\times1+2\times0\\3\times0+4\times1&3\times1+4\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix} \]

\[ BA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix} \]

两者不相等——交换律不成立的最直接例证。

2.1.2 方阵的幂与矩阵多项式

求 \(A^n\) 的三板斧

① 秩 1 矩阵拆列×行：若 \(A=\alpha\beta^{T}\)（列×行，秩 1），则 \(A^{n}=\beta^{T}\alpha\,(\alpha\beta^{T})^{n-1}=(\beta^{T}\alpha)^{n-1}A\)（\(\beta^{T}\alpha\) 是数）；

② 对角块 / 直接归纳：形如 \(\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix}\lambda^{n}&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^{n}\end{pmatrix}\)；

③ 相似对角化（第 5 章）：\(A=P\Lambda P^{-1}\Rightarrow A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1}\)。

例 2（★★☆☆ 高频考点）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，求 \(A^{n}\)；并求 \(f(A)\)，其中 \(f(x)=x^2-3x+2\)。

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记 \(A=E+B\)，\(B=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}\)，则 \(B^2=O\) 且 \(EB=BE\)，二项式展开干净截断：

\[ A^{n}=E+nB=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix} \]

矩阵多项式直接代入：

\[ f(A)=A^{2}-3A+2E=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&6\\0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix} \]

例 3（★★★☆）

设 \(\alpha=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，记 \(A=\alpha\beta^{T}\)，求 \(A^{n}\)。

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\(A=\alpha\beta^{T}=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}\) 秩 1。

\(\beta^{T}\alpha=1+2+3=6\)，故

\[ A^{n}=(\beta^{T}\alpha)^{n-1}A=6^{n-1}\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix} \]

（原理：\(A^{n}=\alpha(\beta^{T}\alpha)\cdots(\beta^{T}\alpha)\beta^{T}\)，中间的数提出来。）

练习 1（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，求 \((AB)^{2}\) 与 \(A^{2}B^{2}\)。

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\(AB=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}\)，\((AB)^{2}=O\)；

\(A^{2}=O\)，故 \(A^{2}B^{2}=O\)。

本例 \((AB)^2=A^2B^2\) 纯属巧合，一般不成立（例如交换例 1 中两矩阵再试）。

练习 2（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，求 \(A^{4}\)。

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同例 2：\(A^{n}=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)，故 \(A^{4}=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\)。

2.2　逆矩阵

定义设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\) 使 \[ AB=BA=E \] 则称 \(A\) 可逆，\(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)（唯一）。
判定（等价条件链，全书核心）以下互推（\(n\) 阶方阵 \(A\)）： \[ A\text{ 可逆}\iff|A|\ne0\iff r(A)=n\iff Ax=0\text{ 只有零解}\iff A\text{ 的列（行）向量线性无关}\iff A=P_1P_2\cdots P_s(\text{初等矩阵之积}) \]
运算性质\((A^{-1})^{-1}=A\)；\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)；\((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\)；\((kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}\ (k\ne0)\)；\(|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}\)；\(A\) 可逆时 \(A^{n}\) 有意义且 \((A^{n})^{-1}=(A^{-1})^{n}\)。

2.2.1 求逆的两种方法

方法一：伴随法（低阶 / 抽象题） \[ A^{-1}=\frac1{|A|}A^{*} \] 二阶专属速算（主对角互换，副对角变号）： \[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \]
方法二：初等变换法（≥三阶数值题首选） \[ (A\mid E)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E\mid A^{-1}) \] 只能用行变换。若左边化为 \(O\)，说明 \(|A|=0\)，不可逆。
例 4（★☆☆☆）

求 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

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\(|A|=1\)，

\[ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \]

（验算：\(AA^{-1}=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=E\)。）

例 5（★★☆☆ 方法）

求 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\) 的逆矩阵（两种方法各做一遍）。

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\(|A|=2\)。

伴随法：算出 9 个代数余子式 \(A_{11}=2,\ A_{12}=-3,\ A_{13}=2\)；\(A_{21}=6,\ A_{22}=-6,\ A_{23}=2\)；\(A_{31}=-4,\ A_{32}=5,\ A_{33}=-2\)（注意 \(A^{*}\) 按转置位置排布）：

\[ A^{*}=\begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac12A^{*}=\begin{pmatrix}1&3&-2\\[2pt]-\tfrac32&-3&\tfrac52\\[2pt]1&1&-1\end{pmatrix} \]

初等变换法：

\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\2&2&1&0&1&0\\3&4&3&0&0&1\end{array}\right)\xrightarrow[r_3-3r_1]{r_2-2r_1}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-2&-5&-2&1&0\\0&-2&-6&-3&0&1\end{array}\right) \]

\[ \xrightarrow{r_3-r_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-2&-5&-2&1&0\\0&0&-1&-1&-1&1\end{array}\right)\xrightarrow{-r_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-2&-5&-2&1&0\\0&0&1&1&1&-1\end{array}\right) \]

\[ \xrightarrow{r_2+5r_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-2&0&3&6&-5\\0&0&1&1&1&-1\end{array}\right)\xrightarrow{r_1-3r_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&-2&-3&3\\0&-2&0&3&6&-5\\0&0&1&1&1&-1\end{array}\right) \]

\[ \xrightarrow{-\frac12r_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&-2&-3&3\\0&1&0&-\tfrac32&-3&\tfrac52\\0&0&1&1&1&-1\end{array}\right)\xrightarrow{r_1-2r_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&3&-2\\0&1&0&-\tfrac32&-3&\tfrac52\\0&0&1&1&1&-1\end{array}\right) \]

两种方法结果一致。

2.2.2 矩阵方程

三种标准形（先化成标准形再代入）

\(AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B\)（左乘）；

\(XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}\)（右乘，易错方向不能反）；

\(AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\)；

含 \(X\) 的项先移项合并，如 \(AX=A+2X\Rightarrow(A-2E)X=A\)。

例 6（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}\)，解矩阵方程 \(AX=B\)。

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\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\)。

（验算：\(AX=\begin{pmatrix}2+1&2+2\\1+1&1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}=B\)。）

例 7（★★★☆ 真题风格）

设 \(A=\begin{pmatrix}4&1\\0&3\end{pmatrix}\)，矩阵 \(X\) 满足 \(AX=A+2X\)，求 \(X\)。

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移项：\(AX-2X=A\)，即 \((A-2E)X=A\)。

\(A-2E=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\((A-2E)^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\)，

\[ X=(A-2E)^{-1}A=\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix} \]

（验算：\(AX=\begin{pmatrix}8&-1\\0&9\end{pmatrix}\)，\(A+2X=\begin{pmatrix}4+4&1-2\\0&3+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-1\\0&9\end{pmatrix}\)。）

练习 3（★☆☆☆）

求 \(\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}^{-1}\)。

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\(|A|=-1\)，\(A^{-1}=\dfrac1{-1}\begin{pmatrix}5&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\)。

练习 4（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\)，解矩阵方程 \(XA=B\)。

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\(X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&4\end{pmatrix}\)。

（验算：\(XA=\begin{pmatrix}0+1&0+1\\-2+4&-1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}=B\)。）

2.3　伴随矩阵

定义把 \(A=(a_{ij})\) 每个元素的代数余子式 \(A_{ij}\) 按转置位置排成的矩阵： \[ A^{*}=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix} \]
核心公式（一切围绕它变形） \[ AA^{*}=A^{*}A=|A|E \qquad\Longrightarrow\qquad A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}\ (|A|\ne0),\quad A^{*}=|A|A^{-1} \]

恒等式链（\(A\) 可逆时）：\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\)；\((A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A\ (n\ge2)\)；\((AB)^{*}=B^{*}A^{*}\)；\((A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}\)；\((kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}\)；\((A^{*})^{-1}=\dfrac{A}{|A|}\)；\((A^{-1})^{*}=\dfrac{A}{|A|}\)。

伴随矩阵的秩（选择题常客） \[ r(A^{*})=\begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} \] （\(r(A)=n-1\) 时 \(A^{*}\ne O\) 但 \(|A^{*}|=|A|^{n-1}=0\)，故秩恰为 1。）
例 8（★★★☆ 高频考点）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=2\)，求 \(\bigl|(A^{*})^{*}\bigr|\) 与 \(\bigl|\bigl(2A^{*}\bigr)^{-1}\bigr|\)。

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\((A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A=2A\)，故 \(\bigl|(A^{*})^{*}\bigr|=|2A|=2^{3}\times2=16\)。

\(\bigl(2A^{*}\bigr)^{-1}=\dfrac12(A^{*})^{-1}=\dfrac12\cdot\dfrac{A}{|A|}=\dfrac{A}{4}\)，故 \(\bigl|\bigl(2A^{*}\bigr)^{-1}\bigr|=\dfrac{|A|}{4^{3}}=\dfrac{2}{64}=\dfrac1{32}\)。

（自检：\(\bigl|(A^{*})^{*}\bigr|=|A^{*}|^{2}=(|A|^{2})^{2}=16\)，一致。）

例 9（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，求 \(r(A)\) 与 \(r(A^{*})\)。

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\(r_2-4r_1=(0,-3,-6)\)，\(r_3-7r_1=(0,-6,-12)\)，\(r_3-2r_2=O\)，行阶梯形有 2 个非零行，\(r(A)=2\)。

由伴随秩公式（\(n=3,\ r(A)=n-1\)）：\(r(A^{*})=1\)，且 \(|A^{*}|=0\)。

练习 5（★★☆☆）

设 \(A\) 为 3 阶可逆矩阵且 \(|A|=\tfrac13\)，求 \(\bigl|(A^{-1})^{*}\bigr|\)。

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\((A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}=\dfrac{A}{|A|}=3A\)，故 \(\bigl|(A^{-1})^{*}\bigr|=|3A|=3^{3}\times\tfrac13=9\)。

2.4　初等变换与初等矩阵

三类初等变换 / 初等矩阵对单位矩阵 \(E\) 作一次初等变换所得矩阵称初等矩阵：

① 交换两行（列）：\(E(i,j)\)；

② 某行乘非零常数 \(k\)：\(E(i(k))\)；

③ 某行加上另一行的 \(k\) 倍：\(E(i,j(k))\)。

初等矩阵均可逆，逆仍是同类型初等矩阵：\(E(i,j)^{-1}=E(i,j)\)，\(E(i(k))^{-1}=E(i(\tfrac1k))\)，\(E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k))\)。
左行右列定理

\(A\xrightarrow{\text{初等行变换}}B \iff\) 存在初等矩阵 \(P\) 使 \(PA=B\)（左乘 = 行变换）；

\(A\xrightarrow{\text{初等列变换}}B \iff\) 存在初等矩阵 \(Q\) 使 \(AQ=B\)（右乘 = 列变换）；

推论：\(A\) 可逆 \(\iff A\) 可写成若干初等矩阵的乘积 \(\iff A\cong E\)（\(A\) 等价于单位阵）。

例 10（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)。（1）求初等矩阵 \(P\) 使 \(PA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\)；（2）计算 \(\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}A\)。

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（1）右边是 \(A\) 交换两行所得，故 \(P=E(1,2)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，验证 \(PA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}\)。

（2）\(\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\) 是 \(E(2,1(3))\)，左乘相当于 \(r_2\leftarrow r_2+3r_1\)：

\[ \begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}1&2\\3+3&4+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\6&10\end{pmatrix} \]

练习 6（★★☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\)，写出把 \(A\) 化为单位矩阵的初等行变换，并写成初等矩阵乘积的形式。

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第一步 \(r_1\times\tfrac12\)：\(P_1=\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&1\end{pmatrix}\)，得 \(\begin{pmatrix}1&\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\)；

第二步 \(r_1-\tfrac12r_2\)：\(P_2=\begin{pmatrix}1&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\)，得 \(E\)。

即 \(P_2P_1A=E\)，故 \(A^{-1}=P_2P_1=\begin{pmatrix}1&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\)。

（验算：\(\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。）

2.5　矩阵的秩

定义矩阵 \(A\) 中非零子式的最高阶数称为 \(A\) 的秩，记 \(r(A)\)。等价刻画：初等行变换化为行阶梯形后非零行的个数。 \[ 0\le r(A_{m\times n})\le\min\{m,n\},\qquad r(A)=r(A^{T}) \]
常用公式（证明题与选择题的弹药库）

① \(r(kA)=r(A)\ (k\ne0)\)；

② \(r(AB)\le\min\{r(A),\,r(B)\}\)；

③ \(r(A+B)\le r(A)+r(B)\)；

④ \(A\) 可逆时 \(r(AB)=r(B)\)（左乘可逆阵不改变秩）；

⑤ \(r(A)+r(B)-n\le r(AB)\)（\(A\) 为 \(m\times n\)，\(B\) 为 \(n\times s\)）；

⑥ \(r(A^{T}A)=r(A)\)（实矩阵）。

例 11（★☆☆☆）

求 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\) 的秩。

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\(r_2-4r_1=(0,-3,-6)\)，\(r_3-7r_1=(0,-6,-12)\)，再 \(r_3-2r_2=O\)：

\[ \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix} \]

两个非零行，\(r(A)=2\)（同时 \(|A|=0\)，但存在非零 2 阶子式如 \(\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}=-3\)）。

例 12（★★★☆ 真题风格）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&\lambda\end{pmatrix}\)，讨论 \(\lambda\) 取何值时 \(r(A)\) 最小。

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\(r_2-r_1=(0,1,2)\)，\(r_3-r_1=(0,2,\lambda-1)\)，再 \(r_3-2r_2=(0,0,\lambda-5)\)。

行阶梯形：\(\lambda=5\) 时非零行 2 个，\(r(A)=2\)（最小）；\(\lambda\ne5\) 时 \(r(A)=3\)。

练习 7（★★☆☆）

求 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&1&1&1\end{pmatrix}\) 的秩。

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第 2 行是第 1 行的 2 倍，\(r_2-2r_1=O\)；第 3 行与第 1 行不成比例，故非零行为 \((1,2,3,4)\) 与 \((1,1,1,1)\)，\(r(A)=2\)。

练习 8（★★☆☆）

设 \(A\) 为 \(4\times3\) 矩阵，\(r(A)=2\)，求 \(r(A^{T})\) 与 \(r(A^{T}A)\)。

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\(r(A^{T})=r(A)=2\)；由公式⑥，\(r(A^{T}A)=r(A)=2\)（注意 \(A^{T}A\) 是 3 阶方阵且不满秩，故 \(|A^{T}A|=0\)）。

2.6　分块矩阵

运算规则分块后按「块」当作元素做加、乘（注意块可乘、顺序不能交换）： \[ \begin{pmatrix} A&O\\ O&B \end{pmatrix}^{n}=\begin{pmatrix} A^{n}&O\\ O&B^{n} \end{pmatrix}\qquad \begin{vmatrix} A&O\\ O&B \end{vmatrix}=|A|\,|B| \] 求逆公式（\(A,B\) 可逆）： \[ \begin{pmatrix} A&O\\ O&B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}&O\\ O&B^{-1} \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix} O&A\\ B&O \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} O&B^{-1}\\ A^{-1}&O \end{pmatrix} \]
例 13（★★★☆）

设 \(M=\begin{pmatrix}0&0&1&2\\0&0&3&4\\2&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\)，求 \(M^{-1}\)。

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分块为 \(M=\begin{pmatrix} O&A\\ B&O \end{pmatrix}\)，其中 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。

\(A^{-1}=\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}\)，\(B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&1\end{pmatrix}\)。

\[ M^{-1}=\begin{pmatrix} O&B^{-1}\\ A^{-1}&O \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&\tfrac12&0\\ 0&0&0&1\\ -2&1&0&0\\ \tfrac32&-\tfrac12&0&0 \end{pmatrix} \]

练习 9（★★☆☆）

设 \(M=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)（分块对角），求 \(M^{-1}\)。

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块 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 的逆为 \(\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)，块 \(3\) 的逆为 \(\tfrac13\)：

\[ M^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&\tfrac13\end{pmatrix} \]

2.7　章末自测（10 题，建议限时 70 分钟）

自测 1（选择 · ★★☆☆）

设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵且 \(AB=O\)，则必有：

A. \(A=O\) 或 \(B=O\)　　B. \(|A|=0\) 或 \(|B|=0\)　　C. \(BA=O\)　　D. \(|A|+|B|\ne0\)

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取行列式：\(|A||B|=0\)，故至少一个行列式为 0，选 B。A 错（如 \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\ne O\)，\(A^2=O\)）；C 错（\(AB\ne BA\) 一般）；D 与 B 矛盾。

自测 2（选择 · ★☆☆☆）

\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) 成立的充要条件是：

A. \(A^T=A\)　　B. \(AB=BA\)　　C. \(A,B\) 均可逆　　D. \(B=E\)

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\((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\)，与目标比较多出的 \(AB+BA=2AB\iff BA=AB\)，选 B。（D 是充分不必要。）

自测 3（填空 · ★☆☆☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则 \(|A^{-1}|=\)

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\(|A|=-2\)，\(|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}=-\dfrac12\)。

自测 4（填空 · ★★★★ 高频考点）

设 \(A\) 为 3 阶矩阵，\(|A|=\tfrac12\)，则 \(\bigl|(2A)^{-1}-2A^{*}\bigr|=\)

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统一成 \(A^{-1}\)：\((2A)^{-1}=\tfrac12A^{-1}\)，而 \(A^{*}=|A|A^{-1}=\tfrac12A^{-1}\)，两者相等：

\[ (2A)^{-1}-2A^{*}=\tfrac12A^{-1}-A^{-1}=-\tfrac12A^{-1} \]

\(\bigl|-\tfrac12A^{-1}\bigr|=\bigl(-\tfrac12\bigr)^{3}\cdot\dfrac1{|A|}=-\tfrac18\times2=-\tfrac14\)。

自测 5（填空 · ★★☆☆）

\(r\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}=\)

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即例 5 的矩阵，\(|A|=2\ne0\)，秩为 \(3\)。

自测 6（填空 · ★★★☆）

设 \(A\) 为 \(3\times4\) 矩阵，\(r(A)=2\)，则 \(r(A^{T}A)=\)

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\(r(A^{T}A)=r(A)=2\)（\(A^{T}A\) 为 4 阶方阵，不满秩，行列式为 0）。

自测 7（解答 · ★★★☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}\)，矩阵 \(X\) 满足 \(XA-E=2X\)，求 \(X\)。

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移项：\(XA-2X=E\)，即 \(X(A-2E)=E\)，故 \(X=(A-2E)^{-1}\)。

\(A-2E=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\)，\(|A-2E|=-1\)，

\[ X=\frac1{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix} \]

（验算：\(XA=\begin{pmatrix}1&2\\2&-3\end{pmatrix}\)，\(2X+E=\begin{pmatrix}1&2\\2&-3\end{pmatrix}\)。）

自测 8（解答 · ★★★☆）

设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}\)，求 \(A^{n}\)。

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秩 1 拆分：\(A=\alpha\beta^{T}\)，\(\alpha=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，\(\beta=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)。

\(\beta^{T}\alpha=1+2=3\)，故

\[ A^{n}=(\beta^{T}\alpha)^{n-1}A=3^{n-1}\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix} \]

自测 9（解答 · ★★★☆）

设 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求 \(A\)、\((A^{T})^{-1}\) 与 \(A^{*}\)。

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\(|A^{-1}|=-2\)，故 \(|A|=-\tfrac12\)。

\[ A=(A^{-1})^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix} \]

\((A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)；

\(A^{*}=|A|A^{-1}=-\tfrac12\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\tfrac12&-1\\ -\tfrac32&-2\end{pmatrix}\)。

自测 10（解答 · ★★★★ 冲刺）

设 \(M=\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&2\\0&0&3&4\end{pmatrix}\)，求 \(M^{-1}\) 与 \(|M|\)。

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分块对角 \(M=\begin{pmatrix} A&O\\ O&B \end{pmatrix}\)，\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)。

\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)，\(B^{-1}=\dfrac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}\)。

\[ M^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&\tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix},\qquad |M|=|A||B|=1\times(-2)=-2 \]

2.8　本章考点总结

考点常见题型重要度
运算规则（消去律/交换律失效、\((A+B)^2\) 展开式）选择题★★★★
求逆（初等变换法、伴随法）小题或大题一步★★★★★
解矩阵方程（先化标准形）解答大题★★★★★
伴随矩阵公式串、\(r(A^{*})\)小题★★★★
秩的公式与含参讨论小题 + 大题第一步★★★★
初等矩阵、左行右列选择题★★★
分块对角求逆小题★★★
与后续章节的接口

① \(A\) 可逆 \(\iff |A|\ne0\iff r(A)=n\iff Ax=0\) 只有零解——第 4 章解方程组处处用它；

② \(A^{n}\) 的相似对角化解法在第 5 章，务必回来补做；

③ \(r(A)+r(B)-n\le r(AB)\) 在第 3 章向量组、第 4 章解的结构中反复出现。