第 5 章　大数定律与中心极限定理

对任意 \(0\lt\varepsilon\lt 1\)，当 \(n\gt\varepsilon\) 时事件 \(\{|X_n-0|\ge\varepsilon\}\) 就是 \(\{X_n=n\}\)，故

\[ P\bigl(|X_n|\ge\varepsilon\bigr)=\frac1n\to 0\qquad\Rightarrow\qquad X_n\xrightarrow{P}0 \]

但 \(E(X_n)=n\cdot\frac1n+0\cdot\bigl(1-\frac1n\bigr)=1\)，\(\lim E(X_n)=1\neq 0\)。

易错：依概率收敛不保证期望收敛——偏差 \(n\) 虽是小概率事件，但幅度巨大，加权平均后贡献仍是 1。这解释了为什么辛钦大数定律只谈「依概率」而不谈期望的极限。

记 \(\bar{X}=\frac1n\sum X_i\)。由期望与方差的线性（独立性）：

\[ E(\bar{X})=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\mu_i,\qquad D(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)\le\frac{1}{n^2}\cdot nC=\frac{C}{n} \]

对任意 \(\varepsilon\gt 0\)，由切比雪夫不等式：

\[ P\Bigl(\bigl|\bar{X}-E(\bar{X})\bigr|\ge\varepsilon\Bigr)\le\frac{D(\bar{X})}{\varepsilon^2}\le\frac{C}{n\varepsilon^2}\to 0\qquad(n\to\infty) \]

证毕。套路总结：一切「平均值依概率收敛于期望」型证明都是这三步——算 \(E(\bar{X})\)、算（放缩）\(D(\bar{X})\)、套切比雪夫。伯努利大数定律就是取 \(X_i\sim 0\text{-}1(p)\) 的特例（见自测 7）。

(1) 独立同分布且期望 \(\frac12\) 存在（方差也存在）——辛钦（或切比雪夫）可用，\(\bar{X}\xrightarrow{P}\frac12\)。

(2) 独立但不同分布：\(E(X_i)=0\)，\(D(X_i)=\frac{(2i)^2}{12}=\frac{i^2}{3}\) 无界，切比雪夫条件不满足；不同分布也用不了辛钦。两个定律都不能直接用（结论本身需另证，本题只需指出条件缺失）。

(3) 同分布但柯西分布的期望不存在（\(\int|x|f(x)dx\) 发散），辛钦的前提被破坏，不能用。事实上可以证明此时 \(\bar{X}\) 仍服从柯西分布，不收敛于任何常数。

易错：把辛钦的条件记成「独立 + 方差有限」。同分布时只要期望存在即可；(2)、(3) 分别破坏「一致有界 / 同分布」与「期望存在」。

单个：\(\mu=\frac12\)，\(\sigma^2=\frac{1}{12}\)。故 \(E(S)=50\)，\(D(S)=\frac{100}{12}=\frac{25}{3}\)，\(\sigma(S)=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.887\)。

\[ P(S\gt55)=1-P(S\le55)\approx1-\Phi\Bigl(\frac{55-50}{5/\sqrt3}\Bigr)=1-\Phi(1.73)\approx1-0.9582=0.0418 \]

（注意 \(S\) 的精确分布是 Irving–Weldon 型卷积，几乎不可算——这正是 CLT 的用武之地。）

\(E(X)=np=400\)，\(D(X)=npq=240\)，\(\sqrt{D}=\sqrt{240}\approx15.49\)。

\[ P(380\lt X\lt420)\approx\Phi\Bigl(\frac{420-400}{15.49}\Bigr)-\Phi\Bigl(\frac{380-400}{15.49}\Bigr)=\Phi(1.29)-\Phi(-1.29)=2\Phi(1.29)-1 \]

\[ \approx 2\times0.9015-1=0.803 \]

易错：对称区间要利用 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)；用连续性修正（379.5 与 419.5）会更接近真值，考试两种写法都给分，但写明用了 CLT。

\(X\sim B(100,0.2)\)：\(E(X)=20\)，\(D(X)=16\)，\(\sqrt{D}=4\)。

不作修正：\(P(X\le25)\approx\Phi\bigl(\frac{25-20}{4}\bigr)=\Phi(1.25)\approx0.8944\)。

作连续性修正：\(P(X\le25)\approx\Phi\bigl(\frac{25.5-20}{4}\bigr)=\Phi(1.38)\approx0.9162\)。

修正把离散点「铺」到相邻区间，通常更接近精确值。答案写 \(\approx0.91\)（修正版）即可。

单个部件：\(E(X_i)=\frac{1}{\lambda}=100\)，\(D(X_i)=\frac{1}{\lambda^2}=100^2\)。故

\[ E(T)=100\times100=10^4,\qquad D(T)=100\times10^4=10^6,\qquad \sigma(T)=1000 \]

\[ P(T\gt10500)=1-\Phi\Bigl(\frac{10500-10000}{1000}\Bigr)=1-\Phi(0.5)\approx1-0.6915=0.3085 \]

套路总结：指数分布「均值 \(1/\lambda\)、标准差也是 \(1/\lambda\)」让本题数值特别整齐。第 ③ 步的标准化是全章唯一的核心动作。

单个：\(E(X_i)=0\)，\(D(X_i)=\frac{1}{12}\)。总误差 \(S_n=\sum X_i\)：\(E=0\)，\(\sigma(S_n)=\sqrt{n/12}\)。

\[ P\bigl(|S_n|\lt10\bigr)=2\Phi\Bigl(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\Bigr)-1\ge0.90 \]

即 \(\Phi\Bigl(\dfrac{10}{\sqrt{n/12}}\Bigr)\ge0.95\)，亦即

\[ \frac{10}{\sqrt{n/12}}\ge1.64\ \Rightarrow\ \sqrt{\frac{n}{12}}\le\frac{10}{1.64}=6.098\ \Rightarrow\ \frac n{12}\le37.18\ \Rightarrow\ n\le446.2 \]

故最多测量 446 次。

易错：本题是「至多」，不等号方向要求 \(z\ge\) 分位点，开方后变成对 \(n\) 的上界，取整要向下（446.2 → 446）。与例 9 的「至少」对比：那边取整向上。方向弄反直接丢分。

设装 \(n\) 箱，总重 \(T_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i\)：\(E(T_n)=50n\)，\(\sigma(T_n)=5\sqrt n\)。由中心极限定理：

\[ P(T_n\gt5000)=1-\Phi\Bigl(\frac{5000-50n}{5\sqrt n}\Bigr)\le0.0228 \]

由 \(\Phi(2)=0.9772\)，上式等价于 \(\dfrac{5000-50n}{5\sqrt n}\ge2\)。令 \(m=\sqrt n\)：

\[ 5000-50m^2\ge10m\ \Rightarrow\ 50m^2+10m-5000\le0\ \Rightarrow\ 5m^2+m-500\le0 \]

\[ m\le\frac{-1+\sqrt{1+10^4}}{10}=\frac{-1+100.0}{10}\approx9.9\ \Rightarrow\ n=m^2\le98.01 \]

故最多装 98 箱。（验证 \(n=98\)：\(z=\frac{5000-4900}{5\sqrt{98}}=\frac{100}{49.5}\approx2.02\ge2\) ✓；\(n=99\)：\(z=\frac{5000-4950}{5\sqrt{99}}=\frac{50}{49.7}\approx1.006\lt2\) ✗。）

套路总结：「额定值 − 期望」除以「标准差 × √n」大于等于分位点 → 关于 \(\sqrt n\) 的一元二次不等式 → 取整。这是数学一反复出现的解答题模型。

频率 \(f_n=\frac{S_n}{n}\)：\(E(f_n)=p\)，\(D(f_n)=\frac{pq}{n}\le\frac{1}{4n}\)。

(1) 切比雪夫：\(P\bigl(|f_n-p|\le0.05\bigr)\ge1-\dfrac{pq}{0.0025\,n}\ge1-\dfrac{1}{0.01\,n}=1-\dfrac{100}{n}\ge0.95\)，得 \(n\ge2000\)。

(2) 中心极限定理（\(S_n\) 近似正态，最坏 \(pq=\frac14\)）：

\[ P\bigl(|f_n-p|\le0.05\bigr)=2\Phi\Bigl(0.05\sqrt{\frac{n}{pq}}\Bigr)-1\ge2\Phi\bigl(0.05\cdot2\sqrt n\bigr)-1=2\Phi\bigl(0.1\sqrt n\bigr)-1 \]

需 \(0.1\sqrt n\ge1.96\)，即 \(\sqrt n\ge19.6\)，\(n\ge384.16\)，取 \(n\ge385\)。

结论：两个工具都有效，但 CLT 给出的 \(n\) 小得多——切比雪夫只保证「保底」，CLT 反映真实量级。套路总结：题目问「至少多少次试验才能保证…」时，看清要求用哪个工具；两种都要会。