第 3 章　多维随机变量及其分布

(1) 由 \(P\{X=1\}=0.3+\beta=0.5\) 得 \(\beta=0.2\)；再由归一性 \(0.1+\alpha+0.3+0.2=1\) 得 \(\alpha=0.4\)。

(2) 行和为 \(X\) 的边缘：\(P\{X=0\}=0.5\)，\(P\{X=1\}=0.5\)；列和为 \(Y\) 的边缘：\(P\{Y=0\}=0.4\)，\(P\{Y=1\}=0.6\)（自检：各自和为 1）。

(3) 检验乘积：\(P\{X=0\}P\{Y=0\}=0.5\times 0.4=0.2\neq 0.1=P\{X=0,Y=0\}\)，故不独立（只要一处不合即否定）。

(4) \(P\{X\le Y\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=0,Y=1\}+P\{X=1,Y=1\}=0.1+0.4+0.2=0.7\)。

套路总结：表格题三步——边缘 = 行列求和；参数用归一性 + 附加条件联立；独立性逐格验证 \(p_{ij}=p_i\,p_j\)。

(1) 归一性：\(\int_0^1\!\!\int_0^1 c(x+y)\,dx\,dy=c\left(\frac12+\frac12\right)=c=1\)。

(2) 事件区域是单位正方形与三角域 \(x+y\le 1\) 的交，即三角形 \(0\lt x\lt 1,\ 0\lt y\lt 1-x\)：

\[ P\{X+Y\le 1\}=\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\left[x(1-x)+\frac{(1-x)^{2}}{2}\right]dx \]

\[ =\int_0^1\left(\frac12-\frac{x^{2}}{2}\right)dx=\frac12-\frac16=\frac13 \]

(3) \(f_X(x)=\int_0^1(x+y)\,dy=x+\dfrac12\)（\(0\lt x\lt 1\)；其他处为 0）。由对称性 \(f_Y(y)=y+\dfrac12\)（\(0\lt y\lt 1\)）。自检：\(\int_0^1\left(x+\frac12\right)dx=1\)。

(1) 圆域面积为 \(4\pi\)，故 \(f(x,y)=\dfrac{1}{4\pi}\)（\(x^2+y^2\le 4\)；其他处 0）。

(2) 小圆面积为 \(\pi\)，均匀分布按面积比：\(P=\dfrac{\pi}{4\pi}=\dfrac{1}{4}\)。

(3) 对固定的 \(x\in(-2,2)\)，\(y\) 的范围是 \(-\sqrt{4-x^{2}}\lt y\lt\sqrt{4-x^{2}}\)：

\[ f_X(x)=\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\frac{1}{4\pi}dy=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2\pi},\qquad |x|\lt 2 \]

自检（半圆面积公式 \(\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{\pi r^{2}}{2}\)，取 \(r=2\)）：\(\int_{-2}^{2}\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{2\pi}dx=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{4\pi}{2}=1\)，归一。

(4) 区域关于 \(y\) 轴对称，\(P\{X\gt 0\}=\dfrac{1}{2}\)。

易错：圆域均匀分布的边缘不是均匀分布（\(\sqrt{4-x^2}\) 的因子），更不独立——均匀联合不保证边缘均匀。

自检：\(\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{2}{12}+\frac{4}{12}=\frac{12}{12}=1\)。

行和：\(P\{X=1\}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac13\)，\(P\{X=2\}=\frac23\)；

列和：\(P\{Y=1\}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac14\)，\(P\{Y=2\}=\frac{2}{12}+\frac{2}{12}=\frac13\)，\(P\{Y=3\}=\frac{1}{12}+\frac{4}{12}=\frac{5}{12}\)（自检 \(\frac{3+4+5}{12}=1\)）。

\[ P\{Y=1\mid X=1\}=\frac{1/12}{1/3}=\frac{1}{4},\qquad P\{X=2\mid Y=3\}=\frac{1/3}{5/12}=\frac{4}{5} \]

套路总结：条件分布 = 把选中那一行（列）除以该行（列）的边缘和，得到一组新的概率（行内自检和为 1：\(\frac14+\frac12+\frac14=1\)）。

自检归一：\(\int_0^1\!\!\int_0^{y}2\,dx\,dy=\int_0^1 2y\,dy=1\)。

(1) 固定 \(x\in(0,1)\)，\(y\) 从 \(x\) 到 1：\(f_X(x)=\int_x^1 2\,dy=2(1-x)\)；固定 \(y\in(0,1)\)，\(x\) 从 0 到 \(y\)：\(f_Y(y)=\int_0^y 2\,dx=2y\)。

(2) \[ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{2}{2(1-x)}=\frac{1}{1-x}\ \ (x\lt y\lt 1);\qquad f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{2}{2y}=\frac{1}{y}\ \ (0\lt x\lt y) \]

自检：\(\int_x^1\dfrac{dy}{1-x}=1\)，\(\int_0^y\dfrac{dx}{y}=1\)，都是合法密度。

(3) \(P\{Y\gt\frac12\}=\int_{1/2}^{1}2y\,dy=1-\frac14=\frac34\)。

易错：条件密度要标明取值范围（含参数 \(x\) 或 \(y\) 的范围），漏范围是扣分点；区域非矩形时 \(f(x,y)\neq f_X f_Y\)，必不独立。

(1) 求边缘：\(f_X(x)=\int_0^2 xy\,dy=2x\)（\(0\lt x\lt 1\)），\(f_Y(y)=\int_0^1 xy\,dx=\dfrac{y}{2}\)（\(0\lt y\lt 2\)）。乘积 \(f_X f_Y=2x\cdot\dfrac{y}{2}=xy=f(x,y)\)，且矩形区域，故独立。

(2) 由例 2：\(f_X(x)=x+\dfrac12\)，\(f_Y(y)=y+\dfrac12\)，乘积 \(=xy+\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac14\neq x+y\)（例如在 \(x=y=1\) 处 \(f=2\) 而乘积 \(=2.25\)），故不独立。

套路总结：快速判断口诀——密度能写成「\(x\) 的函数 × \(y\) 的函数」且定义域为矩形 ⇒ 独立；区域非矩形或含 \(x+y\)、\(xy\) 混合项（无法分离）⇒ 不独立。

(1) \(X\sim N(1,4)\)，\(Y\sim N(0,1)\)（边缘只依赖各自的 \(\mu,\sigma^{2}\)，与 \(\rho\) 无关）。

(2) 二维正态中 \(\rho=0\iff\) 独立，故独立。\(P\{X\gt 1\}=0.5\)（对称轴 \(\mu_1=1\)），\(P\{Y\lt 0\}=0.5\)，独立时相乘：\(P\{X\gt 1,Y\lt 0\}=0.25\)。

(3) 边缘分布完全相同（仍是 \(N(1,4)\) 与 \(N(0,1)\)），但 \(\rho=\frac12\neq 0\)，故不独立。此时线性组合 \(X+Y\sim N\left(1,\ 4+1+2\cdot\frac12\cdot 2\cdot 1\right)=N(1,7)\)（协方差 \(\operatorname{Cov}=\rho\sigma_1\sigma_2=1\)）。

易错：「边缘是正态」与「联合是二维正态」不等价；「\(\rho=0\) 等价独立」仅在二维正态前提下成立。

按对角线数格点（有序对共 36 个）：

自检：\(\frac{2(1+2+3+4+5)+6}{36}=\frac{36}{36}=1\)。最可能值 \(Z=7\)。

卷积中被积函数非零要求 \(0\lt x\lt 1\) 且 \(0\lt z-x\lt 1\)，即 \(\max(0,z-1)\lt x\lt\min(1,z)\)，区间长度 \(l(z)=\min(1,z)-\max(0,z)\)（需为正）：

当 \(0\lt z\lt 1\)：\(x\in(0,z)\)，\(f_Z(z)=\int_0^{z}1\cdot1\,dx=z\)；

当 \(1\le z\lt 2\)：\(x\in(z-1,1)\)，\(f_Z(z)=\int_{z-1}^{1}dx=2-z\)；其余处为 0。

\[ f_Z(z)=\begin{cases}z, & 0\lt z\lt 1\\ 2-z, & 1\le z\lt 2\\ 0, & \text{其他}\end{cases}\quad(\text{三角形密度}) \]

自检：\(\int_0^1 z\,dz+\int_1^2(2-z)dz=\frac12+\frac12=1\)。

\(P\{Z\ge 1.5\}=\int_{1.5}^{2}(2-z)dz=\left[2z-\frac{z^2}{2}\right]_{1.5}^{2}=(4-2)-(3-1.125)=0.125=\frac18\)。

易错：卷积的积分限随 \(z\) 分段，先解不等式组再积分，不要默认 \((-\infty,+\infty)\) 硬积。

独立正态的线性组合仍正态，参数按「线性组合」计算：

\(Z=X+Y\sim N(1+2,\ 4+9)=N(3,13)\)；

\(W=X-2Y\sim N(1-2\times 2,\ 4+(-2)^2\times 9)=N(-3,\ 40)\)（方差中系数平方，独立时协方差项为 0）。

如需概率：\(P\{W\le -3\}=0.5\)（\(-3\) 恰为 \(W\) 的均值）。

元件寿命分布 \(F(t)=1-e^{-\lambda t}\)（\(t\gt 0\)）。记元件寿命 \(X_1,X_2\)。

(1) 并联系统寿命 \(T=\max(X_1,X_2)\)：

\[ F_T(t)=P\{X_1\le t\}P\{X_2\le t\}=(1-e^{-\lambda t})^{2},\qquad f_T(t)=2\lambda e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t}) \]

(2) 串联系统寿命 \(T=\min(X_1,X_2)\)：

\[ F_T(t)=1-P\{X_1\gt t\}P\{X_2\gt t\}=1-e^{-2\lambda t} \]

即 \(\min\) 仍服从指数分布 \(E(2\lambda)\)（率参数加倍），这是重要结论。

(3) 取 \(\lambda t=1\)。可靠度 \(P\{T\gt t\}=1-F_T(t)\)：

并联：\(P\{T\gt 1000\}=1-(1-e^{-1})^{2}=2e^{-1}-e^{-2}=0.7358-0.1353=0.6004\)；

串联：\(P\{T\gt 1000\}=e^{-2}\approx 0.1353\)。

并联系统的可靠度（0.60）接近串联（0.135）的 4.4 倍，冗余设计的价值一目了然。

易错：并联系统「至少一个元件活过 \(t\)」的概率是 \(1-(1-e^{-\lambda t})^{2}=2e^{-\lambda t}-e^{-2\lambda t}\)，别与 \(F_T(t)=(1-e^{-\lambda t})^{2}\) 本身混淆；(1) 求寿命分布函数，(3) 求可靠度 \(P\{T\gt t\}=1-F_T(t)\)，两者互为对立事件。

关键转化：\(P\{M\le k\}=\left(\dfrac{k}{6}\right)^{2}\)（两个都不超过 \(k\)），故

\[ P\{M=k\}=\Big(\frac{k}{6}\Big)^{2}-\Big(\frac{k-1}{6}\Big)^{2}=\frac{2k-1}{36},\qquad k=1,\dots,6 \]

类似地 \(P\{N\ge k\}=\left(\dfrac{7-k}{6}\right)^{2}\)，

\[ P\{N=k\}=\Big(\frac{7-k}{6}\Big)^{2}-\Big(\frac{6-k}{6}\Big)^{2}=\frac{13-2k}{36},\qquad k=1,\dots,6 \]

自检：两行各自求和均为 \(\frac{36}{36}=1\)；且逐点有 \(P\{M=k\}=P\{N=7-k\}\)（对称性）。

(1) \(\int_0^1\!\!\int_0^1 c(x^{2}+y^{2})\,dxdy=c\left(\frac13+\frac13\right)=\frac{2c}{3}=1\Rightarrow c=\dfrac32\)。

(2) \(f_X(x)=\dfrac32\int_0^1(x^{2}+y^{2})dy=\dfrac32\left(x^{2}+\dfrac13\right)=\dfrac{3x^{2}}{2}+\dfrac12\)（\(0\lt x\lt 1\)）；对称地 \(f_Y(y)=\dfrac{3y^{2}}{2}+\dfrac12\)。乘积明显不等于 \(\dfrac32(x^{2}+y^{2})\)（含 \(x^{2}y^{2}\) 项），不独立。

(3) 三角形区域上积分：

\[ P\{X+Y\le 1\}=\frac32\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx=\frac32\int_0^1\left[x^{2}(1-x)+\frac{(1-x)^{3}}{3}\right]dx \]

两项分别积分：\(\int_0^1(x^{2}-x^{3})dx=\frac13-\frac14=\frac{1}{12}\)；\(\frac13\int_0^1(1-x)^{3}dx=\frac{1}{12}\)。合计 \(\frac16\)，乘 \(\frac32\) 得 \(\boxed{\frac14}\)。

(4) 角域 \([\frac12,1]\times[\frac12,1]\) 上，两个变量对称贡献：

\[ \iint_{\left[\frac12,1\right]^{2}}x^{2}\,dxdy=\int_{1/2}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{1/2}^{1}dy=\frac{7}{24}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{48} \]

\(y^{2}\) 项同值 \(\frac{7}{48}\)，故

\[ P=\frac32\left(\frac{7}{48}+\frac{7}{48}\right)=\frac32\cdot\frac{7}{24}=\frac{21}{48}=\frac{7}{8} \]

自检：\(P\{X\gt\frac12\}=\int_{1/2}^{1}\left(\frac{3x^{2}}{2}+\frac12\right)dx=\frac{7}{16}+\frac{4}{16}=\frac{11}{16}\)。若独立应有 \(\left(\frac{11}{16}\right)^{2}\approx 0.473\)，而实际 \(\frac78=0.875\) 大得多——密度 \(\frac32(x^{2}+y^{2})\) 在角 \((1,1)\) 处最厚，正相关地把概率推向「两个都大」，与不独立的结论互相印证（概率在 0 与 1 之间，量级合理）。