第 2 章 数据的表示和运算
本章地位：组成原理中计算题最密集的一章，也是选择题的「弹药库」：IEEE 754 转换、补码溢出判断、海明码分组、CRC 模 2 除法几乎每年都在卷面上出现。真题套路高度固定——按步骤逐位演算、结果自检即可拿满分；失分几乎都失在「跳步」上。本章每道例题都把每一步展开到二进制位，并附数值核对，请务必跟着动笔算一遍。
2.1 进位计数制与编码
2.1.1 r 进制及其互相转换
二进制 ↔ 八 / 十六进制：分组法——整数从小数点向左、小数向右，每 3 位（八进制）或 4 位（十六进制）一组，不足补 0。
(1) 将十进制数 41.375 转换为二进制和十六进制；(2) 说明为什么十进制小数 0.3 无法用有限位二进制精确表示。
查看解答
(1) 整数部分（除 2 取余，余数从下往上读）：
\(41\div2=20\cdots1\)；\(20\div2=10\cdots0\)；\(10\div2=5\cdots0\)；\(5\div2=2\cdots1\)；\(2\div2=1\cdots0\)；\(1\div2=0\cdots1\) → \(41=(101001)_2\)
小数部分（乘 2 取整，整数从上往下读）：\(0.375\times2=0.75\) 取 0；\(0.75\times2=1.5\) 取 1；\(0.5\times2=1.0\) 取 1 → \(0.375=(0.011)_2\)
故 \(41.375=(101001.011)_2\)。十六进制分组：\(0010\,1001\,.\,0110\) → 29.6H。核对：\(32+8+1+0.25+0.125=41.375\) ✓；\(2\times16+9+6/16=41.375\) ✓。
(2) 对 0.3 连续乘 2 取整：\(0.3\to0.6(0)\to1.2(1)\to0.4(0)\to0.8(0)\to1.6(1)\to1.2(1)\to\cdots\)，出现 \(0.6\to1.2\to0.4\to0.8\to1.6\to1.2\) 的循环，得 \(0.3=(0.0100\,1100\,1100\cdots)_2\)（"1100" 无限循环）。因此十进制小数转二进制可能无限不精确，机器只能按字长截断 / 舍入——这就是 0.1+0.2 ≠ 0.3（见 2.3 节 C 演示与 2.5 节舍入）的根源。
2.1.2 BCD、ASCII 与汉字编码
用 8421 BCD 码计算 8+5 与 9+8。
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8+5：\(1000+0101=1101\)（13，是非法码）→ 加 6 修正：\(1101+0110=1\,0011\)，即十位 1、个位 3 → 结果 13 ✓。
9+8：\(1001+1000=1\,0001\)（本位 0001、向高位进位 1）→ 因产生进位须修正：\(0001+0110=0111\) → 十位 1、个位 7 → 结果 17 ✓。
套路总结：结果 > 9 或出现进位就 +6；修正若再产生进位，进位正是给上一位十进制数的。
将十进制数 25.25 分别转换为二进制与十六进制。
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整数：\(25=16+8+1=(11001)_2\)；小数：\(0.25\times2=0.5(0)\)，\(0.5\times2=1.0(1)\) → \(0.01\)。故 \(25.25=(11001.01)_2=0001\,1001\,.\,0100\) = 19.4H。核对：\(16+8+1+0.25=25.25\) ✓；\(1\times16+9+4/16=25.25\) ✓。
2.2 校验码：奇偶 / 海明 / CRC 高频考点
2.2.1 码距与奇偶校验
2.2.2 海明码：分组 + 纠错
② 第 \(i\) 个校验位校验「位号的二进制展开中第 \(i\) 位为 1」的所有位（按偶校验配置）；
③ 纠错时算出各组的校验方程 \(S_i\)，\(S_k\cdots S_2S_1\) 拼成的二进制数就是出错位的位号，将该位取反即纠错；全 0 表示无错。
设信息位 D = 1010（D₄D₃D₂D₁ = 1,0,1,0）。(1) 求偶校验配置的海明码（整体 7 位）；(2) 若接收到 H₇..H₁ = 1000010，判断哪一位出错并纠正。
查看解答
(1) 定位：\(k=3\)（\(2^3=8\ge4+3+1\)），共 7 位，位号 1～7：H₁=P₁、H₂=P₂、H₃=D₁、H₄=P₃、H₅=D₂、H₆=D₃、H₇=D₄（自左向右 H₃..H₇ 依次落入 D₁,D₂,D₃,D₄ = 0,1,0,1）。
求校验位（每组使 1 的个数为偶数）：
P₁（校验 H₁,H₃,H₅,H₇）：\(P_1=D_1\oplus D_2\oplus D_4=0\oplus1\oplus1=0\)
P₂（校验 H₂,H₃,H₆,H₇）：\(P_2=D_1\oplus D_3\oplus D_4=0\oplus0\oplus1=1\)
P₃（校验 H₄,H₅,H₆,H₇）：\(P_3=D_2\oplus D_3\oplus D_4=1\oplus0\oplus1=0\)
发送码字 H₇..H₁ = D₄ D₃ P₃ D₂ D₁ P₂ P₁ = 1001010。
(2) 纠错：收到的 H₁..H₇ = 0,1,0,0,0,0,1，逐组重算：
\(S_1=H_1\oplus H_3\oplus H_5\oplus H_7=0\oplus0\oplus0\oplus1=1\)
\(S_2=H_2\oplus H_3\oplus H_6\oplus H_7=1\oplus0\oplus0\oplus1=0\)
\(S_3=H_4\oplus H_5\oplus H_6\oplus H_7=0\oplus0\oplus0\oplus1=1\)
\(S_3S_2S_1=101_2=5\) → 第 5 位（H₅ = D₂）出错，由 0 纠正为 1，码字恢复为 1001010，取出信息位 D₄D₃D₂D₁ = H₇,H₆,H₅,H₃ = 1,0,1,0 = 1010 ✓（正是 D₂ 被 1→0 翻转的情形）。
套路总结：海明码题三步——定位（2 的幂放校验位）→ 列各组的异或方程求 P → 收端重算 S 拼位号。S 全 0 无错；S 非 0 直接指出位号。
2.2.3 循环冗余校验码（CRC）
信息码 M = 1010，生成多项式 \(G(x)=x^{3}+x+1\)。求 CRC 码字，并验证接收端除法余数为 0。
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\(G(x)=x^3+x+1\) 对应二进制 1011（最高次 3 → 余数 3 位）。M 左移 3 位：被除数 1010 000。模 2 除法（逐位异或）：
① 取被除数前 4 位 1010：首位 1 → 商 1，\(1010\oplus1011=0001\)；
② 落下一位 0 → 00010，看低 4 位 0010：首位 0 → 商 0；
③ 落下一位 0 → 0100：首位 0 → 商 0；
④ 落下最后一位 0 → 1000：首位 1 → 商 1，\(1000\oplus1011=0011\)；位已用尽。
商 = 1001（不需要），余数 R = 011。CRC 码字 = 信息码 + 余数 = 1010 011 = 1010011。
验证：接收端 1010011 ÷ 1011：\(1010\oplus1011=0001\)，落 0 → 0010（商 0），落 1 → 0101（商 0），落 1 → 1011，\(1011\oplus1011=0000\)（商 1）→ 余数 000 ✓ 无错。
若最低位出错收到 1010010，同样除法余数为 001 ≠ 0 → 判错请求重传（余数与出错位一一对应，但一般不用于纠错）。
(1) 要纠正 1 位错并同时发现 2 位错，码距至少为多少？(2) 奇偶校验为何不能发现 2 位同时出错？(3) 信息 8 位，海明校验位应为几位？
查看答案
(1) 纠一检二需 \(d\ge4\)。（纠一检一 \(d\ge3\)，注意区分这两个常考结论。）
(2) 2 位同时翻转，1 的个数的奇偶性不变，校验方程仍满足，故检测不出——这正是奇偶校验码距仅为 2 的体现。
(3) \(2^k\ge8+k+1\)：\(k=3\) 时 \(8\lt12\) 不够；\(k=4\) 时 \(16\ge13\) ✓ → 4 位（信息 4 位才是 3 位）。
2.3 定点表示与运算
2.3.1 原码 / 反码 / 补码 / 移码
- 原码：符号位 + 绝对值。0 有两个（+0 = 0000 0000，−0 = 1000 0000）；
- 反码：正数同原码；负数 = 原码数值位按位取反。0 也有两个；
- 补码：正数同原码；负数 = 反码末位 + 1。0 唯一；多表示一个负数 −128；加减法统一为加法；
- 移码：真值 + 偏置（8 位偏置 2⁷ = 128），即补码的符号位取反。常用于表示浮点阶码，直接按无符号数比较大小；0 唯一。
| 码制（8 位） | 表示范围 | 0 的个数 | 特殊值 |
|---|---|---|---|
| 原码 | −127 ～ +127 | 2 个 | −0 = 1000 0000 |
| 反码 | −127 ～ +127 | 2 个 | −0 = 1111 1111 |
| 补码 | −128 ～ +127 | 1 个 | [−128]补 = 1000 0000（无对应原码） |
| 移码 | −128 ～ +127 | 1 个 | [−128]移 = 0000 0000，[0]移 = 1000 0000 |
设 x = −45（8 位）。(1) 写出 [x]原、[x]反、[x]补、[x]移；(2) 由 [x]补 求 [−x]补；(3) 写出 [x]补 的 16 位符号扩展。
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(1) 先定数值位：\(45=32+8+4+1=(0101101)_2\)（7 位数值位，\(32+0+8+4+0+1=45\) ✓）。
[x]原 = 1010 1101（符号 1 + 45）；
[x]反 = 数值位取反 = 1101 0010；
[x]补 = 反码 + 1 = 1101 0011。核对：\(-128+64+16+2+1=-45\) ✓。
[x]移 = 补码符号位取反 = 0101 0011（= −45+128 = 83 ✓）。
(2) 由 [x]补 求 [−x]补：连同符号位一起取反，末位加 1：1101 0011 → 0010 1100 → +1 = 0010 1101 = 45 ✓。
(3) 符号扩展（8 → 16 位）：x 为负，高位补符号位 1 → 1111 1111 1101 0011。核对：\(-32768+16384+\cdots\)，其值不变仍为 −45（高 8 位 1111 1111 的权恰好抵消）✓。正数则高位补 0，如 [+5]补 8 位 0000 0101 → 16 位 0000 0000 0000 0101。
易错：求 [−x]补 是「连同符号位取反加 1」，不是只翻转符号位；[−128]补 求反加 1 会溢出（8 位无 +128），故 −128 没有 [−x]补。
2.3.2 补码加减法与溢出判断
用 8 位补码计算 −5+3，写出逐位过程并核对。
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[−5]补：5 = 0000 0101 → 取反 1111 1010 → +1 = 1111 1011；[3]补 = 0000 0011。
\[ \begin{array}{r} 1111\ 1011\\ +\quad 0000\ 0011\\ \hline 1\ 1111\ 1110 \end{array} \]
最高位进位 1 超出 8 位字长，丢弃（模 2⁸），结果 [x+y]补 = 1111 1110 = \(-128+64+32+16+8+4+2=-2\) ✓（−5+3 = −2）。两异号数相加必不溢出，此处只是自然回绕。
- 一位符号位（操作数法）：两同号操作数之和的符号与之相反 → 溢出；
- 进位法：符号位进位 \(C_s\) 与最高数值位进位 \(C_1\) 异或为 1 → 溢出；
- 双符号位（变形补码）：00 正、11 负；结果符号 01 → 正溢，10 → 负溢。最高符号位永远代表真正符号。
用变形补码（双符号位）计算 8 位下的 65+66 与 (−65)+(−66)，判断是否溢出。
查看解答
① 65+66：[65]补 = 0100 0001、[66]补 = 0100 0010；双符号位 00 100 0001 + 00 100 0010：
\[ 00\,1000001 + 00\,1000010 = 01\,0000011 \]
双符号位 = 01 → 正溢 ✓（65+66 = 131 > 127，确已超出 8 位补码上限）。
② (−65)+(−66)：[−65]补 = 1011 1111（= −128+63 ✓）、[−66]补 = 1011 1110；双符号位相加：
\[ 11\,0111111 + 11\,0111110 = 1\,10\,1111101 \xrightarrow{\text{丢最高进位}} 10\,1111101 \]
双符号位 = 10 → 负溢 ✓（−131 < −128，超出下限；丢弃进位后最高符号位 1，真正符号仍为负）。
套路总结：双符号位口诀「结果 00/11 才正常，01 正溢、10 负溢」；单符号位进位法 \(C_s\oplus C_1=1\) 判溢出，两法结论必一致。
// 整型溢出演示：补码运算的"回绕"在 C 语言中的表现
#include <stdio.h>
int main() {
int i = 2147483647; // 32 位 int 最大值 (2^31 - 1)
printf("%d\n", i + 1); // 正溢：输出 -2147483648（回绕到补码最小负数）
unsigned char c = 255; // 8 位无符号数最大值
c = c + 1; // 模 256 回绕
printf("%u\n", c); // 输出 0
return 0;
}已知 [x]补 = 90H（8 位）。(1) 求 x 的真值；(2) 求 [−x]补；(3) 求 [x]移。
查看答案
(1) 90H = 1001 0000，符号 1 为负：\(-128+16=-112\)。
(2) 连同符号位取反加 1：0110 1111 → +1 = 0111 0000（= 112 = −x ✓，即 70H）。
(3) [x]移 = 补码符号位取反 = 0001 0000（= −112+128 = 16 ✓）。
2.4 定点乘除与移位
2.4.1 算术移位与逻辑移位
| 运算 | 左移 | 右移 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 算术移位 | 低位补 0（可能溢出） | 高位补符号位 | 符号数：左移 ×2、右移 ÷2 |
| 逻辑移位 | 低位补 0 | 高位补 0 | 无符号数 / 位串的平移 |
设 [x]补 = 1110 0000（8 位）。求 x 的真值，并给出算术右移 2 位后的机器数与真值。
查看答案
x = \(-128+64+32=-32\)。算术右移 1 位 → 1111 0000（−16），再右移 1 位 → 1111 1000 = \(-128+120=-8\) ✓（−32÷4 = −8，高位始终补符号 1）。
2.4.2 原码一位乘与补码 Booth 乘法
设 x = −0.101，y = 0.011，用原码一位乘法求 x·y。
查看解答
数值部分 |x| = 0.101（记 101），|y| = 0.011（乘数寄存器 R 初值 011）；部分积 P 初值 000。
| 步骤 | 判断位（R 末位） | 操作 | 部分积 P | 乘数 R |
|---|---|---|---|---|
| 初态 | — | — | 000 | 011 |
| 1 | 1 | P+101 = 101，右移 | 010 | 101 |
| 2 | 1 | P+101 = 111，右移 | 011 | 110 |
| 3 | 0 | P+000 = 011，右移 | 001 | 111 |
数值积 = P ‖ R = 001 111，即 0.001111；符号位 = 1⊕0 = 1，故 x·y = −0.001111。
核对：\(|x|\cdot|y|=\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{15}{64}\)，而 \(0.001111=\frac{15}{64}\) ✓。
| 判断位 \(y_i\,y_{i+1}\) | 操作 |
|---|---|
| 0 0 或 1 1 | 部分积 + 0，右移一位 |
| 0 1 | 部分积 + [x]补，右移一位 |
| 1 0 | 部分积 + [−x]补，右移一位 |
设 x = 0.101，y = 0.011（4 位含符号），用 Booth 算法求 x·y。
查看解答
[x]补 = 00.101（双符号位），[−x]补 = 11.011（取反加 1：00.101 → 11.010 → +1 ✓）。部分积 A 初值 00.000；乘数（含符号位）y₀y₁y₂y₃ = 0011，附加位 y₄ = 0。
| 步骤 | 判断位 | 操作 | 部分积 A |
|---|---|---|---|
| 初态 | — | — | 00.000 |
| 1 | y₃y₄ = 10 | +11.011 = 11.011，算术右移 | 11.101 |
| 2 | y₂y₃ = 11 | +0，算术右移 | 11.110 |
| 3 | y₁y₂ = 01 | +00.101 → 100.011 = 00.011，算术右移 | 00.001 |
| 4 | y₀y₁ = 00 | +0，不移位 | 00.001 |
逐步核对：① 00.000+11.011 = 11.011，右移补符号 1 → 11.101（移出 1）；② +0 右移 → 11.110（移出 1）；③ 11.110+00.101 = 100.011，双符号位吸收进位得 00.011，右移 → 00.001（移出 1）；④ 判断乘数符号位组 00，只加不移。
乘积高位 = A 的数值 001；三次右移移出位（先出者在最低）为 1、1、1，即积的低 3 位 = 111。故 x·y = 0.001111，核对 \(\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}=\frac{15}{64}=0.001111_2\) ✓（与例 8 符号数值均一致，两法互验）。
2.4.3 除法：原码加减交替法
设 x = 0.011，y = 0.100，用原码加减交替法求 x/y（写出逐步过程）。
查看答案
|x| = 0.011，|y| = 0.100，[−|y|]补 = 1.100。余数寄存器 R 初值 = |x| = 0.011，第一步先试减：
| 步骤 | 操作 | 余数 R | 商 |
|---|---|---|---|
| 1 | R−|y|：0.011+1.100 = 1.111 < 0 | 1.111（=−0.001） | 0 |
| 2 | 左移 → 11.110；R+|y|：11.110+00.100 = 100.010 → 00.010 ≥ 0 | 00.010（=+0.010） | 1 |
| 3 | 左移 → 00.100；R−|y|：00.100+11.100 = 100.000 → 00.000 ≥ 0 | 00.000 | 1 |
商 = 0.011，最终余数为正（0.000），无需恢复。符号 = 0⊕0 = 0，故 x/y = +0.011，余 0.000。
核对：\(|y|\times商=0.100\times0.011=0.011=|x|\)，余数 0 ✓（即 \(3/8\div1/2=3/4\)）。
2.5 浮点表示与运算 高频考点
2.5.1 IEEE 754 单精度格式
将十进制数 −12.75 转换为 IEEE 754 单精度格式，写出十六进制结果。
查看解答
① 符号：负数 → S = 1。
② 二进制：\(12=1100\)，\(0.75=0.11\) → \(12.75=1100.11\)（核对 \(8+4+0.5+0.25=12.75\) ✓）。
③ 规格化：小数点左移 3 位：\(1100.11=1.10011\times2^{3}\)。
④ 阶码：\(E=3+127=130=1000\,0010\)（核对 \(128+2=130\) ✓）。
⑤ 尾数：去掉隐含的 "1."，M = 100 1100 0000 0000 0000 0000（10011 后补 18 个 0，共 23 位）。
拼接：1 | 1000 0010 | 1001 1000 0000 0000 0000 0000，按 4 位分组：
1100 0001 0100 1100 0000 0000 0000 0000 = 0xC14C0000。
反向核对：0xC14C0000 → S=1；E=130 → 指数 3；1.M = 1.10011 → \(1.10011_2\times8=12.75\)，添负号 ✓。
将单精度数 0x41C80000 转换为十进制。
查看解答
展开二进制：0x41C80000 = 0100 0001 1100 1000 0000 0000 0000 0000。
① S = 0（正数）；② E = 1000 0011 = 131 → 真指数 = 131−127 = 4；③ M = 100 1000 0…0 → 1.M = 1.1001。
\[ N=1.1001_2\times2^{4}=11001_2=16+8+1=\mathbf{25.0} \]
核对：1.1001₂ = 1.5625，× 16 = 25 ✓。
套路总结：双向转换五步——符号 / 二进制 / 规格化 / 阶码（真指数 ±127）/ 尾数（去掉或补回隐含 1.），最后按 4 位分组写十六进制。
2.5.2 浮点加减运算五步法
② 尾数加减（用双符号位补码）；
③ 规格化：尾数溢出（符号 01/10）或出现非规格化形式 → 右规（尾数右移 1 位、阶码 +1）/ 左规（尾数左移 1 位、阶码 −1）；
④ 舍入：右移丢失位按 0 舍 1 入（丢 1 则末位 +1）或恒置 1 / 截断处理；
⑤ 判溢出：阶码上溢才是真溢出（中断 / 置无穷），尾数"溢出"可被右规修复，阶码下溢一般按机器零处理。
设浮点数字长：阶码 3 位（补码，含 1 位符号）、尾数 5 位（补码，双符号 + 4 数值位）。阶码按二进制书写：\(x=2^{10_{2}}\times0.1110\)，\(y=2^{01_{2}}\times0.1000\)，求 x+y（按五步法逐步执行）。
查看解答
① 对阶：阶差 \(10_2-01_2=1\)，y 阶小 → y 尾数算术右移 1 位：\(0.1000\to0.0100\,|\,0\)（移出 0 暂存，用于舍入），y 变为 \(2^{10_{2}}\times0.0100\)。
② 尾数相加（双符号位）：\(00.1110+00.0100=01.0010\)。
③ 规格化：双符号 01 → 尾数溢出，右规：右移 1 位得 \(00.1001\)，阶码 +1 → \(2^{11_{2}}\)。
④ 舍入：右规移出位为 0 → 0 舍（0 舍 1 入法下不入），尾数仍 0.1001。
⑤ 判溢出：阶码为 \(011_{2}=3\)（存储 011），未超过 3 位补码阶码的表示范围（−4～+3）→ 无溢出。
结果 \(x+y=2^{11_{2}}\times0.1001\)。核对：\(x=0.875\times4=3.5\)，\(y=0.5\times2=1.0\)，\(3.5+1.0=4.5\)；而 \(0.1001_2\times8=4.5\) ✓（本例恰好无精度损失）。
易错：对阶永远右移小阶尾数；尾数符号 01/10 不是最终溢出，先右规再说；只有第 ⑤ 步阶码溢出才报浮点溢出。
2.5.3 浮点与定点的比较
| 维度 | 定点数 | 浮点数 |
|---|---|---|
| 表示范围 | 小（8 位仅 −128～127） | 大（阶码扩范围，单精度可达 10³⁸ 量级） |
| 精度 | 全范围等精度 | 相对精度恒定，绝对精度随阶码浮动 |
| 运算速度 | 快（直接加减） | 慢（对阶、规格化、舍入多步） |
| 溢出判断 | 结果超范围即溢出 | 仅阶码溢出才是溢出，尾数溢出可右规挽救 |
将 IEEE 754 单精度数 0x42280000 转换为十进制。
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0100 0010 0010 1000 …：S = 0；E = 1000 0100 = 132 → 指数 5；M = 010 1000…0 → 1.M = 1.0101。
\(N=1.0101_2\times2^5=101010_2=32+8+2=\mathbf{42.0}\)。核对：1.0101₂ = 1.3125 × 32 = 42 ✓。
2.6 章末自测 真题风格
限时 60 分钟，先动笔逐位演算再对答案。难度：★★ 基础 / ★★★ 强化 / ★★★★ 冲刺。所有结果都要像正文一样用十进制核对一遍。
8 位补码 1000 0000 表示的十进制数是（ ）
A. 0 B. −0 C. −128 D. −127
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C。补码 1000 0000 是特例：符号位 1、数值位全 0，真值 \(=-2^{7}=-128\)，它没有对应的原码 / 反码。补码正是靠这个特例比原码多表示一个负数（−128～127 共 256 个数）。
x = −53（8 位），则 [x]补 为（ ）
A. 1100 1011 B. 1011 0101 C. 1100 1100 D. 1011 0110
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A。\(53=32+16+4+1=0110\,0101\) → 取反 \(1001\,1010\) → +1 = 1001 1011。核对 \(-128+64+8+2+1=-53\) ✓。B 是原码，C 多加了 1，D 是原码取反（反码）。
将十进制数 20.625 分别转换为二进制与十六进制。
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整数 \(20=10100_2\)；小数 \(0.625\times2=1.25(1)\)，\(0.25\times2=0.5(0)\)，\(0.5\times2=1.0(1)\) → \(0.101\)。故 \(20.625=10100.101_2\)；分组 \(0001\,0100.1010\) = 14.AH。核对 \(16+4+0.625=20.625\) ✓。
信息位为 8 位、要纠正 1 位错的海明码，至少需要校验位（ ）
A. 3 位 B. 4 位 C. 5 位 D. 6 位
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B。\(2^k\ge8+k+1\)：\(k=3\) 时 \(8\lt12\)；\(k=4\) 时 \(16\ge13\) ✓ → 4 位，码字共 12 位。纠 1 位错要求码距 ≥ 3；若还要「纠一检二」再加 1 位全校验位（码距 4）。
信息码 M = 110，生成多项式 \(G(x)=x^{3}+1\)。求 CRC 码字并验证。
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\(G\) 对应 1001，余数 3 位；M 左移 3 位：110 000。模 2 除：
① 取前 4 位 1100，首位 1 → 商 1：\(1100\oplus1001=0101\)；
② 落下 0 → 1010，首位 1 → 商 1：\(1010\oplus1001=0011\)；
③ 落下 0 → 0110，首位 0 → 商 0，原样保留。
余数 R = 110，CRC 码字 = 110 110 = 110110。验证：接收端 110110 ÷ 1001 → \(1101\oplus1001=0100\)，落 1 → 1001，\(1001\oplus1001=0000\)，落 0 → 0000 → 余数 000 ✓。
用 8 位补码计算 (−100)+(−90)，分别用一位符号位法与双符号位法判断是否溢出。
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[−100]补 = 1001 1100（−128+28 ✓），[−90]补 = 1010 0110（−128+38 ✓）。相加：\(1001\,1100+1010\,0110=1\,0100\,0010\)，丢弃进位得 0100 0010（= +66）。
一位符号位法：两操作数同为负，结果符号为 0（正）——同号相加结果变号 → 溢出（负溢）；进位法：数值最高位进位 0 ⊕ 符号位进位 1 = 1，同样判溢。
双符号位法：\(11\,0011100+11\,0100110=1\,10\,1000010\xrightarrow{\text{丢进位}}10\,1000010\)，双符号位 10 → 负溢 ✓（真实和 −190 < −128）。
将 −1.5 转换为 IEEE 754 单精度格式（十六进制表示）。
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S = 1；\(1.5=1.1_2=1.1\times2^{0}\) → E = 0+127 = 127 = 0111 1111；M = 100 0000 0000 0000 0000 0000（23 位）。
拼接：1 | 0111 1111 | 1000…0 → 1011 1111 1100 0000 … = 0xBFC00000。核对：E = 127 → 指数 0，\(1.M=1.1_2=1.5\)，添负号 ✓。
浮点加减运算对阶的原则是（ ）
A. 大阶向小阶对齐，尾数左移 B. 小阶向大阶对齐，尾数右移 C. 阶码小者尾数左移 D. 任一方对齐均可
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B。小阶尾数右移丢失的是低位（影响小），大阶尾数若左移会丢失高位有效数字（错误不可接受）。对阶时阶差每差 1，小阶尾数右移 1 位、阶码 +1，直到阶相等。
设 8 位 [x]补 = 1011 0000：x = \(\underline{\hspace{1cm}}\)；x 算术右移 1 位后的真值 = \(\underline{\hspace{1cm}}\)；若误用逻辑右移，得到的错误结果 = \(\underline{\hspace{1cm}}\)。
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x = \(-128+32+16=\)−80。算术右移 1 位 → 1101 1000 = \(-128+64+16+8=\)−40（= −80÷2 ✓，高位补符号 1）。误用逻辑右移 → 0101 1000 = +88（高位补 0，符号被洗掉），数值完全错误。
浮点数字长同例 12（阶码 3 位补码、尾数双符号 + 4 数值位）。设 \(x=2^{01_{2}}\times0.1001\)，\(y=2^{00_{2}}\times0.0100\)，按五步法求 x−y。
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① 对阶：阶差 1，y 阶小 → 尾数右移 1 位：\(0.0100\to0.0010\)（移出 0），y = \(2^{01_{2}}\times0.0010\)。
② 尾数相减：\(00.1001+[−0.0010]_{补}=00.1001+11.1110=100.0111\to00.0111\)（双符号吸收进位）。
③ 规格化：0.0111 最高数值位为 0，非规格化 → 左规：左移 1 位得 0.1110，阶码 −1 → \(2^{00_{2}}\)。
④ 舍入：左规不丢失位，无舍入；⑤ 判溢出：阶码 000 正常 → 无溢出。
结果 \(x-y=2^{00_{2}}\times0.1110=0.875\)。核对：\(x=0.5625\times2=1.125\)，\(y=0.25\)，\(1.125-0.25=0.875\) ✓。（本题串联了减法化加、左规两大易漏点。）
2.7 本章考点总结
| 考点 | 常考题型 | 热度 | 核心方法 |
|---|---|---|---|
| 进制转换与 BCD | 选择 / 填空 | ★★★ | 除基取余、乘基取整；3 / 4 位分组互转；0.3 型小数无限循环；BCD 加法 ">9 或进位则 +6" |
| 海明码 | 选择 / 解答 | ★★★★ | \(2^k\ge n+k+1\) 定校验位数（4 位信息 k=3、8 位信息 k=4）；校验位放 2 的幂位；\(S\) 拼位号即出错位 |
| CRC 循环码 | 解答 | ★★★★ | 补 \(r\) 个 0 → 模 2 除（逐位异或）→ 余数拼接；接收端余 0 判对；只检不纠 |
| 机器码与 [-x]补 | 选择 | ★★★★ | 负数补码 = 反码 + 1；[−x]补 连同符号位取反加 1；[−128]补 = 1000 0000 特例 |
| 补码加减与溢出 | 选择 / 解答 | ★★★★★ 每年必考 | 模回绕丢进位；同号相加才可能溢出；双符号位 01 正溢 / 10 负溢；\(C_s\oplus C_1\) |
| 移位运算 | 选择 | ★★★ | 算术右移补符号位（负数补 1）；逻辑右移补 0；左移 ×2 可能溢出 |
| 乘除法 | 解答 | ★★★★ | 原码乘：符号异或、绝对值部分积右移；Booth：01 加 [x]补、10 加 [−x]补，最后一步不移；加减交替：余数正负定上商 |
| IEEE 754 | 选择 / 解答 | ★★★★★ 每年必考 | 1+8+23 偏置 127（双精度 1+11+52 偏置 1023）；隐藏位 1.；E 全 0 / 全 1 的特殊值 |
| 浮点加减五步 | 解答 | ★★★★ | 对阶小阶右移 → 双符号尾数加减 → 左规 / 右规 → 0 舍 1 入 → 阶码溢出才是真溢出 |